Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
DalszeuściślenielogikitozasługadeMorganaiSchrödera,którybyłtwórcąmetody
zero-jedynkowejlPokazałaonarozstrzygalnośćklasycznegorachunkuzdańlWreszcie
GottlobFregezbudowałpierwszysystemwpełnisformalizowany-systemrachun-
kuzdańlJegorozważaniazzakresulogicznejanalizypojęćmatematycznychstanowi-
łypodstawęrozumowańkolejnychpokoleńlogikówlJestonwyraźnieniedoceniony,
gdyżbezjegopracrozwójcałejmatematykibyłbyniewątpliwiemocnoopóźnionyl
JednocześnieobserwujemywpływlogikinarozwójmatematykilBolzanoinieza-
leżnieCauchywprowadzają-korzystajączwyrażeńkwantyfikatorowych-poprawną
definicjęgranicyfunkcji(150latpoNewtonie,któryztegopojęciaszerokokorzystał!)l
DziękidziałalnościWeierstrassawyrażeniakwantyfikatorowestająsięcorazbar-
dziejwykorzystywanelFregeiPeanozaczynająstosowaćwyrażeniakwantyfikatoro-
wewdowodachtwierdzeńmatematycznychlLogikazaczynacorazbardziejprzenikać
sięzpodstawamimatematyki,byosiągnąćodpowiednipoziomścisłościwmonumen-
talnymdzieleRussellaiWhiteheadanPrincipiamathematica”lNowoczesnejużzu-
pełnieujęcierachunkukwantyfikatorówzawdzięczamyHilbertowiiAckermannowil
WtymsamymczasiekształtowałasięwspółczesnateoriamnogościlDziękipracom
CantoraodpołowyXIXwlrozwinęłysiębadaniadotyczącenajogólniejszejpostaci
zbiorów,relacjiifunkcjilWykrycierozmaitychsprzecznościnagruncieintuicyjnych
rozważańwtychkwestiachprzyspieszyłoformalneujęcietejteoriiwrozmaiteposta-
ciaksjomatyczne;najbardziejznanapochodziodZermeloiFraenklal
JednązbardziejznanychantynomiijestantynomiaRussella:rodzisięonazpozor-
nieoczywistegostwierdzenia,żeistniejezbiórwszystkichzbiorówlAleczynapew-
no?Załóżmy,żetakizbiórUistniejelWobectegoUjestelementemU,cozapisujemy:
U∈U
Istniejąteżzbiory,któreniespełniajątegowarunku,nplzbiórliczbnaturalnych
niejestliczbąnaturalną;tozkoleizapisujemy:
N∉N
NiechzatemWbędziezbioremtakichzbiorówx,żex∉xl
W={x∈U:x∉x}ł
CzyW∈W?
JeśliW∈W,toWniespełniawłasności*,więcW∉W;
jeśliW∉W,toWspełniawłasność*,więcW∈W.
WobectegozbiórWniemożeistnieć,bojegoistnieniejestwewnętrzniesprzecz-
nelWniosek:nieistniejezbiórwszystkichzbiorów,gdyżtowłaśniezałożeniedopro-
wadziłonasdopowyższejsprzecznościlJeślidostrzegaszpodobieństwotejantynomii
doparadoksukłamcy-tomaszracjęl
InnaantynomiarodzisięztakiejotopróbydefinicjilOkreślmyliczbęn:
20