Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.C.Zadaniatrudne
15
1.C.17.
WyznaczyćmocbazyHamelaprzestrzeniilorazowejMap(NjR)/coojgdzie
coojestprzestrzeniązzadania1.B.25.
1.C.18.
NiechXbędzieprzestrzeniątopologicznąHausdorffalokalniezwartą.Udo-
wodnić,żeM(X)zestandardowymidziałaniamidodawaniafunkcjiimnożenia
funkcjiprzezelementyciałaKjestprzestrzeniąliniowąnadtymciałem.
1.C.19.
Niechwektoru=(a1j...jan)∈Rnspełniawarunek0<akdlakażdego
k=1j...jn.OznaczmyTn={1j...jn}i
A={(x1j...jxn)∈R
n:0<xk<akjdlakażdegok∈Tn}.
PonadtodlaM⊂TnpołóżmyuM=(y1j...jyn)∈Rn,gdzieyk=ak,jeśli
k∈Miyk=0,jeślik/
∈M.Wszczególnościu∅=0,uT
n=u.Wykazać,że
A=Conv({uM:M⊂Tn}).
1.C.20.
WykazaćtwierdzenieCarathéodory’ego:jeżeliAjestniepustympod-
zbioremn-wymiarowejprzestrzeniliniowejXnadciałemR,todlakażdego
x∈Conv(A)istniejąliczbynieujemnet1j...jtn+1ipunktyx1j...jxn+1∈A
takie,żeΣ
n+1
kl1tk=1oraz
x=
n+1
Σ
kl1
tkxk.
1.C.21.
NiechAbędzieniepustympodzbioremn-wymiarowejprzestrzeniliniowej
XnadciałemR.DefiniujemyrekurencyjniezbioryAoj...jAnwtensposób,że
Ao=AiAk+1={tx+(1−t)y:xjy∈Akjt∈[0j1]}dlak=0j...jn−1.
Wykazać,żeAn=Conv(A).
1.C.22.
Udowodnić,żekażdaprzestrzeńnieskończeniewymiarowajestalgebraicznie
izomorficznazpewnąswojąpodprzestrzeniąwłaściwą.
1.C.23.
DladanejliczbykardynalnejOskonstruowaćprzestrzeńobazieHamela
mocyO.
