Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
1.3.Strukturyalgebraiczne
1.3.1.Działania
Rozdział1.Pojęciawstępne
RozważmyniepustezbioryXorazK,naktórychokreślonesądziałania:
–wewnętrzne
+:X×X∋(u,w)l→u+w∈X,
–zewnętrzne
·:K×X∋(I,w)l→Iw∈X.
1.3.2.Półgrupa
Parę
(X,+)
nazywanypółgrupą,jeżelidziałaniewewnętrzne
+
jestłączne,to
znaczy,żedlakażdegou,w,z∈Xzachodzi(u+w)+z=u+(w+z)=u+w+z.
1.3.3.Grupa
Parę(X,+)nazywamygrupą,jeżeli:
–
działaniewewnętrzne
+
jestłączne,toznaczy,żedlakażdego
u,w,z∈X
zachodzi
(u+w)+z=u+(w+z)=u+w+z,
–
istniejeelementneutralnydodawania
+
zwanyzeremtaki,żedlakażdego
u∈X
zachodziu+o=o+u=u,
–
dlakażdegoelementu
u∈X
istniejeelementprzeciwny
−u
taki,że
u+(−u)=o
.
Jeżelidodatkowodziałaniejestprzemienne,toznaczy,żezachodzi
u+w=w+u
,
togrupajestprzemiennalubinaczejabelowa.
1.3.4.Pierścień
Zbiór
X
zdziałaniamiwewnętrznymi
+
,
◦
,
(X,+,◦)
nazywamypierścieniem,
jeżeli:
–
działaniewewnętrzne
+
jestłączne,toznaczy,żedlakażdego
u,w,z∈X
zachodzi,
(u+w)+z=u+(w+z)=u+w+z,
–
działaniewewnętrzne
+
jestprzemienne,toznaczy,żedlakażdego
u,w∈X
zachodziu+w=w+u,
–
istniejeelementneutralnydziałania
+
zwanyzeremtaki,żedlakażdegoelementu
u∈Xzachodziu+o=o+u=u,
–
dlakażdegoelementu
u∈X
istniejeelementprzeciwny
−u
taki,że
u+(−u)=o
,
–
działaniewewnętrzne
◦
jestłączne,toznaczy,żedlakażdego
u,w,z∈X
zachodzi,
(u◦w)◦z=u◦(w◦z)=u◦w◦z,
–
działaniewewnętrzne
◦
jestrozdzielnewzględemdziałania
+
,toznaczy,żedla
każdegou,w,z∈Xzachodzi(u+w)◦z=u◦z+w◦z.
Jeżeliistniejeelementneutralnydziałania
◦
,tooznaczamygoprzez
1
.Pierścień,
wktórymtakielementistnieje,nazywamypierścieniemzjedynką.
