Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Przestrzeńmetryczna
JeżelifunkcjafspełniawarunekLipschitza,tojestciągła.
Twierdzenie1010
17
Dowód.
Dla
8>o
przyjmijmy
δ=8
k
,gdzie
k
jestliczbąnaturalnąróżnąodzera.
Wtedy
d1(x,y)<
k
8
⇒d2(f(x),f(y))<k
k
8
=8.
Ciąg
(xn)n∈ł
spełniawarunekCauchy’gowtedyitylkowtedy,gdy
d(xn,xk)→o
dlan,k→Ż.
Przestrzeńmetryczna
(X,d)
jestzupełna,gdykażdyciąg
(xn)n∈ł
spełniający
warunekCauchy’gojestzbieżny.
KażdyciągzbieżnyspełniawarunekCauchy’go.
Twierdzenie1020
Dowód.Niechciąg(xn)n∈łbędziezbieżnydog.Zwłasnościmetrykiwynika,że
d(xn,xk)⩽d(xn,g)+d(g,xk).
Ponieważciąg
dla
spełniawarunekCauchy’go.
n,k→Ż
Podzbiór
demmetrykid|X
Gdy
ciągiemzbiorównigdziegęstych,czylitakich,żeint(An)=∅,to
Lemat1030[9]
Twierdzenie1040TwierdzenieBaire’a[7]
(X,d)
.Stądwynika,że
X1⊂X
(xn)n∈ł
jestprzestrzeniąmetrycznązupełnąoraz
przestrzenizupełnej
1×X1|wtedyitylkowtedy,gdyX1jestdomknięty.
jestzbieżnydogranicy
d(xn,xk)→o
int(
n=1
U
Ż
An)=∅.
(X,d)
dla
g
n,k→Ż
,więc
jestprzestrzeniązupełną(wzglę-
d(xn,g)→o
,cooznacza,żeciąg
An⊂X
dla
oraz
n∈ł
d(g,xk)→o
(xn)n∈ł
jest
Innymisłowywprzestrzenimetrycznejzupełnejkażdyzbiórpierwszejkategoriijest
brzegowy.
