Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
Rozdział1.Pojęciawstępne
Jakoćwiczeniepozostawiamyczytelnikowiilustracjęgrafcznąkuldwuwymiaro-
wychwmetrykachdo,d1orazd2.
Zbiór
A
jestotwartywprzestrzenimetrycznej
(X,d)
,gdydlakażdego
x∈A
istniejer>o,takieżeK(x,r)⊂A.
Metryka
d
generujewięctopologię,czylirodzinęzbiorówotwartych.Topologia
tanazywanajesttopologiąnaturalnąprzestrzenimetrycznej(X,d).
Punkt
x∈A
jestpunktemdomknięciazbioru
A
,gdyistniejeciągelementów
zbioruAzbieżnydotegopunktu,toznaczy
x∈A⇔∃(xn)n∈ł⊂A,lim
n→Ż
xn=x.
Rozszerzonąosiąliczbrzeczywistychnazywamyzbiór[4]
R=R∪{−Ż}∪{Ż}=[−Ż,+Ż].
Działaniedodawaniarozszerzamynapary
(a,b)∈¯
Rׯ
R
różneod
(−Ż,+Ż)
,
(+Ż,−Ż)
tak,bybyłoonoprzemienneorazby
a+Ż=+Ż,a+(−Ż)=−Ż
.
Symbolomnieoznaczonym
(−Ż)+Ż,Ż−Ż
nieprzypisujemyżadnejwartości,
podobniejaksymbolomtypu
o·Ż
.Dla
a>o
idla
a=+Ż
przyjmujemy
a·(+Ż)=
+Ż,a·(−Ż)=−Ż
,zaśdla
a<o
lub
a=−Ż
jest
a·(+Ż)=−Ż,a·(−Ż)=+Ż
.
Dla
a∈R
przyjmujemy
±Ż=o
a
.Takiedefnicjezapewniająciągłośćdziałań.Ciągłość
odnosisiędotopologii,którąna
R
¯
możnawprowadzićnaprzykładprzyużyciu
metryki
d(x,y)=|arctg(x)−arctg(y)|,
gdzieprzyjmujemy
sięztopologiąmetrykieuklidesowej,zaśdlaciągówliczbowyrazach
arctg(±Ż)=±π
2
.Topologiatejmetrykizawężonado
R
xn∈¯
pokrywa
R
ich
zbieżnośćdo+Żzachodziwtedyitylkowtedy,gdy
∀a∈R,∃M,∀n≥M,xn>a.
Rozważmydwieprzestrzeniemetryczne
(X,d1)
oraz
(X,d2)
.Mówimy,żemetryki
d1
i
d2
sąrównoważne,gdygenerujątakiesametopologie.Warunekrównoważności
metrykmożnazapisaćwnastępującysposób.Dlaciągu
(xn)n∈ł⊂X
zbieżnegodo
xodlan→Żzachodzi
d1(xn,xo)→o⇔d2(xn,xo)→o.
Toznaczy,żedowolnypodzbiórzbioru
X
matosamodomknięcieprzymetryce
d1
i
d2
.
Funkcję
f:X1→X2
nazywamyciągłąwpunkcie
xo∈X1
,jeżelidlakażdego
8>oistniejeδ>otakie,żedladowolnegox∈X1spełnionyjestwarunek
d1(xo,x)<δ=⇒d2(f(xo),f(x))<8.
Funkcja
f
spełniawarunekLipschitzazestałą
k>o
,gdydladowolnych
x,y∈X1
zachodzi
d2(f(x),f(y))⩽kd1(x,y).
