Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
PrzeciwobrazzbioruWprzezfunkcjęfjesttozbiór
f
−1(W)={x∈X1:f(x)∈W}.
Rozdział1.Pojęciawstępne
Funkcjajestciągłanazbiorze
X1
wtedy,gdyprzeciwobrazdowolnegozbioru
otwartegowX2jestzbioremotwartymwX1.
Zbiórdomkniętytotakizbiór,któregodopełnieniejestzbioremotwartym.To
znaczy,żeAjestzbioremdomkniętym,gdyX\Ajestzbioremotwartym.
Domknięciezbioru
A
,oznaczanesymbolem
A
,jesttonajmniejszywsensieinklu-
zjizbiórdomkniętyzawierającyzbiórA.
Charakteryzacjadomknięciazbioruprzezotoczeniapunktupjestnastępująca:
p∈A⇔∀U(p),U(p)∩A̸=∅.
Punkt
p
jestpunktemdomknięciazbioru
A
,gdywkażdymotwartymotoczeniutego
punktusąelementyzbioruA.
Wnętrzezbioru
A
,oznaczanesymbolem
int(A)
,jesttonajwiększywsensiein-
kluzjizbiórotwartyzawartywzbiorzeA.
Zachodzizależność
int(A)=X\X\A.
Dowódpowyższejzależnościpozostawiamyjakoćwiczeniedlaczytelników.
BrzegzbioruA,oznaczanyjednymzsymboliFr(A),∂A,jestdefniowanyjako
Fr(A)=A∩X\A.
Mówimy,żezbiórAjestgęstywzbiorzeB,gdy
B⊂A.
ZbiórAnazywamyzbiorembrzegowym,gdy
X\A=X.
(1.1)
Dowódpowyższejzależnościpozostawiamyjakoćwiczeniedlaczytelników.
Zewzoru
(1.1)
wynika,żezbiórbrzegowymapustewnętrze.Oznaczato,żenie
istniejeniepustyzbiórotwartyzawartywA.
ZbiórAnazywamyzbioremnigdziegęstym,gdy
X\A=X.
Zewzoru
(1.1)
wynika,żezbiórnigdziegęstymapustewnętrzedomknięcia.
Oznaczato,żenieistniejezbiórotwartyniepustyzawartyw
A
.Zdefnicji
(1.1)
wynika,żeniejestongęstywżadnymniepustymzbiorzeotwartym.
Zbiórpierwszejkategoriitozbiór,któryjestprzeliczalnąsumązbiorównigdzie
gęstych.Pozostałezbiorytozbiorydrugiejkategorii.
