Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
Jeślinjestliczbąnaturalną,towogólnymprzypadkumamy
jn=
(
I
I
4
I
I
l
−jjgdyn=4k+3j
−1jgdyn=4k+2j
1jgdyn=4k+0j
jj
gdyn=4k+1j
gdziekjestdowolnąliczbąnaturalną.
2.Liczbyzespolone
Twierdzenie2.1.2.Każdąliczbęzespolonąz=(ajb)możnaprzedstawićwpo-
staci
z=a+bj.
(2.11)
Dowód0Łatwozauważyć,żedlaliczbyzespolonejz=(ajb)wobec(2.2),(2.3),(2.8)
i(2.9)kolejnomamy
z=(ajb)=(aj0)+(0jb)=(aj0)+(bj0)(0j1)=a+bj.I
z=a+jb–postać
kanonicznaliczby
z=(ajb)
Działanianaliczbach
wpostacikanonicznej
Postaćz=a+bjliczbyzespolonejz=(ajb)nazywamyjejpostaciąkanoniczną
(algebraicznąlubkartezjańską).Dlaliczbyzespolonejz=a+bj(gdzieaib
sąliczbamirzeczywistymi),liczbaajestjejczęściąrzeczywistą,natomiastb
częściąurojoną.Przykładowo,częściąrzeczywistąiczęściąurojonąliczbyz=
3−14jjest,odpowiednio,3i−14.Jeślimamydwieliczbyzespolonewpostaci
kanonicznej,czylijeślimamyliczbyz=a+bjiw=c+dj(gdziea,b,cid
sąliczbamirzeczywistymi),towobec(2.1)–(2.5)dlaichrówności,sumy,różnicy,
iloczynuiilorazu,odpowiednio,mamy
a+bj=c+dj⇔a=c
ib=dj
z+w=(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)jj
z−w=(a+bj)−(c+dj)=(a−c)+(b−d)jj
zw=(a+bj)(c+dj)=(ac−bd)+(ad+bc)jj
w
z
=
a+bj
c+dj
=
ac+bd
c2+d2
+
bc−ad
c2+d2
j.
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Przykład201010Obliczyćz+w,z1wizw,gdyz=1+5jiw=3+2j.
Łatwozauważyć,że
z+w=(1+5j)+(3+2j)=(1+3)+(5j+2j)=4+7j,
z1w=(1+5j)1(3+2j)=(113)+(5j12j)=12+3j.
Przywyznaczaniuiloczynuliczbzespolonychwpostacikanonicznejnietrzebapamiętać
wzoru(2.15).Wystarczyskorzystaćzrozdzielnościmnożeniawzględemdodawania,
zastąpićj2przez11izgrupować„podobne”czynniki.Dlategodlaliczbz=1+5j
iw=3+2jmamy
zw=(1+5j)(3+2j)=1(3+2j)+5j(3+2j)
=3+2j+15j+10j2=3+17j110=17+17j.
Ćwiczenie201010Każdązniżejprzedstawionychliczb
Ćwiczenie201020Wyznaczyćnastępującewielkości:
zespolonychzapisaćwpostacikanonicznej:
1.Re(j
5+(31j)(2+3j));
5.Im((1+2j)
6);
1.7+4j+2(519j);
5.j(112j)
3+1+14j;
2.Im((11+j)
3(11j)4);
6.Im((j
2+j3)6);
2.(312j)(3+4j);
6.(11j)(2+j)(31j);
3.(415j)(4+5j);
7.j(1+j)
41(2j+1)2;
3.Im((2+j)
31j(11j)4);
7.Re((j+j
3)6);
4.(2+3j)
2(11j);
8.(315j)
214(112j)(2+3j).
4.Re((11+2j)
214j3);
8.Re((1+j)
10).
