Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Liczbyzespoloneidziałanianaliczbachzespolonych
25
Przykład201020Wyznaczyćliczbyrzeczywistexiy,takieże
(412j)x12j(x1jy)=218j.
Zfaktu,żexiysąliczbamirzeczywistymiizrówności
(412j)x12j(x1jy)=(4x12y)+j(14x)
wynika,żeRe((412j)x12j(x1jy))=4x12yiIm((412j)x12j(x1jy))=14x.
Zatemwobecwarunkurównościliczbzespolonych(zob.(2.12))mamy
(412j)x12j(x1jy)=218j⇔{
Re((412j)x12j(x1jy))=Re(218j)j
Im((412j)x12j(x1jy))=Im(218j)
⇔{4x12y=2j
14x
=18
⇔x=2
i
y=3.
Stądwnioskujemy,żex=2iy=3sąjedynymiliczbamirzeczywistymi,takimiże
(412j)x12j(x1jy)=218j.
Ćwiczenie201030Korzystajączdefinicjirównościliczb
4.(1+2j)x+(315j)y=113j;
zespolonych,wyznaczyćtakieliczbyrzeczywistexiy,
abyspełnionabyłakażdazniżejprzedstawionychrów-
5.(3j11)(x12j)=1+yj;
ności:
6.(518j)x+(7+3j)y=21j;
1.(2+3j)x+(512j)y=817j;
2.(21j)x+(1+3j)y+2=0;
3.(7+2j)x1(514j)y=111j;
7.xj(x+3y)=(3x+4j)(1+yj);
8.(x+y)+j(x1y)=(2+5j)
2+j(213j);
9.(2+3j)x
2+(2+j)x+(413j)y=8+17j.
Interpretacjageometrycznaliczbyzespolonej
Każdąliczbęzespolonąz=a+jbmożnautożsamiaćzpunktem(ajb),którego
współrzędnesąrówne,odpowiednio,częścirzeczywistejiczęściurojonejliczby
z=a+jb(rys.2.1).Płaszczyznę,wktórejkażdypunktutożsamiamyzliczbą
zespoloną,nazywamypłaszczyznązespolonąlubpłaszczyznąGaussa(albopłasz-
czyznąArganda).Wtymprzypadkuośodciętychiośrzędnychnazywamy,od-
powiednio,osiąrzeczywistychiosiąurojonych.Liczbęzespolonąz=a+jb
możnarównieżutożsamiaćzwektoremwodzącympunktu(ajb),tj.zwektorem
−
Oz,gdzieOjestpoczątkiemukładu.Wtejinterpretacjisumaliczbzespolonych
→
ziwjestczwartymwierzchołkiemrównoległobokuzbudowanegonawektorach
−
Ozi
noległobokuzbudowanegonawektorach
utożsamiaćzwektorem−
→
−
Ow(rys.2.2).Natomiastróżnicaz−wjestczwartymwierzchołkiemrów-
→
wz(rys.2.3).
→
−
Ozi
→
−
O(−w);różnicęz−wmożnatakże
−
−
−
→
O
y
✻
w
✕
✶
z
❃z+w
x
✲
O
y
b
✻
Rys.2.1
✯
z=a+jb
a
(a,b)
✲
x
Rys.2.2
1w
☛
y
O
✻
w
✕
❥
z1w
z1w
❥
✶
z
✲
x
Rys.2.3
