Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Liczbyzespoloneidziałanianaliczbachzespolonych
Począwszyodtegomiejscadziałanianaliczbachzespolonychoznaczaćbędziemy
zapomocąsymboliużywanychdlaliczbrzeczywistych,tzn.będziemypisać
(ajb)+(cjd)zamiast(ajb)⊕(cjd)oraz(ajb)·(cjd)(lubnawet(ajb)(cjd))
zamiast(ajb)⊗(cjd).Niespowodujetowiększejniejednoznaczności,adzięki
takimzabiegomczytelnikmożeszybciejdojdziedoprzekonania,żedziałaniana
liczbachzespolonychokreślonewzorami(2.2)i(2.3)są„naturalnymi”uogólnie-
niamidodawaniaimnożenialiczbrzeczywistych.
Definicja2.1.2.Różnicąiilorazemliczbyzespolonejz=(ajb)iliczbyzespo-
lonejw=(cjd)nazywamy,odpowiednio,liczbyz−wiz
w,gdzie
23
z−w=(a−cjb−d)j
w
z
=(
ac+bd
c2+d2
j
bc−ad
c2+d2)jgdyw/=(0j0).
(2.5)
Ilorazliczbzespolonych–
tegowzoruniewarto
Definicja2.1.3.Jeślinjestliczbąnaturalną,to(podobniejakwdef.1.2.2)
pamiętać!
n-tąpotęgęliczbyzespolonejzdefiniujesięindukcyjnie,przyjmując,że
(2.4)
Różnicaliczbzespolonych
z1=zizn=z·zn11
dlan=2j3j...Dlaz/=0przyjmujemytakże,że
zo=1iz1n=
zn
1
dlanaturalnegon.
Postaćkanonicznaliczbyzespolonej
(2.6)
Potęgaliczbyzespolonej
(2.7)
NiechCRbędziezbioremliczbzespolonych,którychczęśćurojonajestzerem.
KażdaliczbazezbioruCRmapostać(aj0)ijestjednoznaczniewyznaczona
przezswojączęśćrzeczywistąa,więcliczbęzespoloną(aj0)utożsamiamyzliczbą
rzeczywistąaiwprostpiszemy
(aj0)=a.
(2.8)
Zewzględunapowyższeutożsamianie(któreformalniejestizomorfizmemciała
liczbrzeczywistychRzpodciałemCRciałaliczbzespolonychC,zob.ćw.2.8.27
i2.8.28)możemypowiedzieć,żezbiórliczbzespolonychC,wktórymsumęiilo-
czynokreślonowzorami(2.2)i(2.3),jestrozszerzeniemzbioruliczbrzeczywi-
stychRztradycyjnierozumianąsumąiiloczynemliczbrzeczywistych.
DozbioruCnależyliczba(0j1),którąnazywamyjednostkąurojonąioznaczamy
symbolemj,czyliprzyjmujemy,że
j=(0j1).
Zauważmyteraz,żewobec(2.3)i(2.8)mamy
j·j=(0j1)(0j1)=(−1j0)=−1j
więc
j2=−1.
(2.9)
(2.10)
Równiełatwootrzymujemyj3=−jij4=1.Stądzaśmożnawywnioskować,że
każdanaturalnapotęgaliczbyjjestjednązliczbj,−1,−ji1.Przykładowo,
j5=jjj6=−1jj7=−jij8=1.
