Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
2.Liczbyzespolone
Dowód0(a)i(b)Zprzemiennościiłącznościzwykłegododawanialiczbrzeczywistych
wynikaprzemiennośćiłącznośćdodawania⊕określonegowzorem(2.2).Istotnie,jeśli
(ajb)j(cjd)j(ejf)∈C,to
(ajb)⊕(cjd)=(a+cjb+d)
=(c+ajd+b)
=(cjd)⊕(ajb)
(definicjadziałania⊕)
(przemiennośćdziałania+)
(definicjadziałania⊕)
oraz
(ajb)⊕((cjd)⊕(ejf))=(ajb)⊕(c+ejd+f)
(definicjadziałania⊕)
=(a+(c+e)jb+(d+f))
(definicjadziałania⊕)
=((a+c)+ej(b+d)+f)
(łącznośćdziałania+)
=(a+cjb+d)⊕(ejf)
(definicjadziałania⊕)
=((ajb)⊕(cjd))⊕(ejf).
(definicjadziałania⊕)
(c)Liczba(0j0)jestelementemneutralnymdziałania⊕,bodlakażdejliczbyze-
spolonej(ajb)mamy
(ajb)⊕(0j0)=(a+0jb+0)=(ajb).
(d)Liczba(1aj1b)jestliczbąprzeciwnądoliczby(ajb),bo
(ajb)⊕(1aj1b)=(a+(1a)jb+(1b))=(0j0).
(e)i(f)Mnożenie⊗jestprzemienneiłącznewzbiorzeC,bodladowolnychliczb
zespolonych(ajb)j(cjd)j(ejf)mamy
(ajb)⊗(cjd)=(ac1bdjad+bc)
(definicjadziałania⊗)
=(ca1dbjcb+da)
(przemiennośćmnożenia
idodawanialiczbrzeczywistych)
=(cjd)⊗(ajb)
(definicjadziałania⊗)
oraz
(ajb)⊗((cjd)⊗(ejf))=(ajb)⊗(ce1dfjcf+de)
=(a(ce1df)1b(cf+de)ja(cf+de)+b(ce1df))
=((ac1bd)e1(ad+bc)fj(ac1bd)f+(ad+bc)e)
=(ac1bdjad+bc)⊗(ejf)
=((ajb)⊗(cjd))⊗(ejf).
(g)Liczba(1j0)jestelementemneutralnymdziałania⊗,bodlakażdejliczbyze-
spolonej(ajb)mamy
(ajb)⊕(1j0)=(al11bl0jal0+bl1)=(ajb).
(h)Niechteraz(ajb)będziedowolnąliczbęzezbioruC1{(0j0)}.Wtedya
2+b2/=0
iliczba(
(a2+b2)j
a
(a2+b2))istniejeijestliczbąodwrotnądoliczby(ajb),bo
1b
(ajb)⊗(
a2+b2
a
j
a2+b2)=(a
1b
a2+b2
2
1
a2+b2
1b2
j
a2+b2
1ab
+
a2+b2)=(1j0).
ab
(i)Wkońcudladowolnychliczbzespolonych(ajb),(cjd)i(ejf)mamy
(ajb)⊗((cjd)⊕(ejf))=(ajb)⊗(c+ejd+f)
=(a(c+e)1b(d+f)ja(d+f)+b(c+e))
=((ac1bd)+(ae1bf)j(ad+bc)+(af+be))
=(ac1bdjad+bc)⊕(ae1bfjaf+be)
=((ajb)⊗(cjd))⊕((ajb)⊗(ejf)).
Todowodzi,żemnożenie⊗jestrozdzielnewzględemdodawania⊕itojednocześnie
kończydowódtwierdzenia.I
