Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
Podgrupa
⊗7
1
2
4
1
1
2
4
2
2
4
1
4
4
1
2
1.Podstawowestrukturyalgebraiczne
Definicja1.2.4.Niech(Gj∗)będziegrupąiniechHbędziepodzbioremzbioru
G.Mówimy,żeHjestpodgrupągrupyG,jeślipara(Hj∗)jestgrupą.
JeśliejestelementemneutralnymgrupyG,tozbiórH={e}jestpodgrupą
grupyG.PodobnieH=GjestpodgrupągrupyG.Obietepodgrupysątzw.
trywialnymipodgrupamigrupyG.KażdąinnąpodgrupęgrupyG(jeślitaka
istnieje)nazywamyjejpodgrupąnietrywialną.
Zfaktu,że(Gj∗)jestgrupąwynika,żedziałanie∗jestłącznenakażdym
podzbiorzeHzbioruGzamkniętymzewzględunadziałanie∗.Stądzaśwynika,
żepodzbiórHgrupyGjestjejpodgrupą,podwarunkiemże:
(a)Hjestzamkniętyzewzględunadziałanie∗;
(b)Hzawieraelementneutralny;
(c)Hzawieraodwrotnośćkażdegoswojegoelementu.
Poniższetwierdzenieprzedstawiaprostszywarunekkoniecznyidostatecznyna
to,abypodzbiórHgrupyGbyłjejpodgrupą.(Wćw.1.4.15jestjeszczeinny
warunekkoniecznyidostatecznynato,abyskończonypodzbiórgrupybyłjej
podgrupą.)
Twierdzenie1.2.6.PodzbiórHgrupyGjestjejpodgrupąwtedyitylkowtedy,
gdyspełnionesąnastępującedwawarunki:
(a)Hjestniepusty;
(b)a∗b11∈HdladowolnychelementówaibzbioruH.
Dowód0Załóżmynajpierw,żezbiórHjestpodgrupągrupyG.Ponieważelement
neutralnynależydoH,więcH/=∅.Niechaibbędądowolnymielementamizbioru
H.Wtedytakżeajb11∈H(bogrupaHzawierateżodwrotnośćkażdegoswojego
elementu)ia∗b11∈H(bozbiórHjestzamkniętyzewzględunadziałanie∗).
Załóżmyteraz,żeHjestniepustympodzbioremzbioruGia∗b11∈Hdla
dowolnychajb∈H.PonieważH/=∅,więcistniejeconajmniejjedenelementa
wzbiorzeHidlategoe=a∗a11∈H.Stądzaśwynika,żedlakażdegoa∈H
mamya11=e∗a11∈Hitodowodzi,żeHzawieraodwrotnościwszystkichswoich
elementów.
Wkońcuzauważmy,żejeżeliaibsąelementamizbioruH,towobecpowyższego
takżeaib11sąelementamizbioruHiwtedyteża∗b=a∗(b11)11∈H.Zatem
zbiórHjestzamkniętyzewzględunadziałanie∗itokończydowódfaktu,żeHjest
podgrupągrupyG.I
Przykład102040Wobecwniosku1.2.2,zbiórZ71{0}={1j2j...j6}jestgrupąze
względunamnożenie⊗7.Zprzedstawionejoboktabelkiwynikazaś,żeniepustyzbiór
H={1j2j4}
jestpodgrupągrupy(Z71{0}j⊗7),bozbiórHzawieraodwrotnośćkażdegoswojego
elementu(1
11=1,211=4i411=2)ijestzamkniętyzewzględunamnożenie⊗7.
Przykład102050ZbiórliczbwymiernychQjestgrupązewzględunazwykłedodawa-
nie.Jegonietrywialnypodzbiór2Z,czylizbiórwszystkichparzystychliczbcałkowitych,
jestnietrywialnąpodgrupągrupyQ,boróżnicadowolnychdwóchliczbparzystychjest
liczbąparzystą,tj.a1b∈2Zdladowolnychajb∈2Z.
Przykład102060JeśliajestustalonymelementemgrupyG,towobectwierdzeń1.2.3
i1.2.6zbiórwszystkichcałkowitychpotęgelementua,czylizbiór
H={a
n:n∈Z}j
