Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
1.Podstawowestrukturyalgebraiczne
Twierdzenie1.3.1.DladowolnychelementówxiypierścieniaPmamy:
(a)−(−x)=x;
(b)−(x+y)=(−x)+(−y);
(c)x◦0=0◦x=0;
(d)(−x)◦y=−(x◦y)=x◦(−y);
(e)(−x)◦(−y)=x◦y.
Dowód0Własność(a)jestnatychmiastowąkonsekwencjądefinicjielementuprzeciw-
nego(zob.def.1.1.4).Zkolei(b)jesttreściątwierdzenia1.2.2dlaelementówgrupy
przemiennej(Pj+).Dladowodu(c)zauważmy,że0+x◦0=x◦0=x◦(0+0)=x◦0+x◦0
istąd,wobectwierdzenia1.2.1(wgrupie(Pj+)),mamyx◦0=0.Podobniepoka-
zujesię,że0◦x=0.Zrozdzielnościmnożeniawzględemdodawaniaiz(c)mamy
(1x)◦y+x◦y=((1x)+x)◦y=0◦y=0i,podobnie,x◦y+(1x)◦y=0.Stądzaś
wynika,że(1x)◦y=1(x◦y).Analogiczniedowodzisię,żex◦(1y)=1(x◦y)ito
kończydowódwłasności(d).Wkońcuwłasność(e)wynikaz(d)i(a),bo(1x)◦(1y)=
1(x◦(1y))=1(1(x◦y))=x◦y.I
Przykład103010KażdyzezbiorówZ,2Z,QiRjestpierścieniemprzemiennymze
zwykłymdodawaniemizwykłymmnożeniemliczb.
Jedynkapierścienia
Dzielnikzera
Definicja1.3.2.JedynkąpierścieniaPnazywamyelemente∈P,takiżedla
każdegox∈Pjest
x◦e=e◦x=x.
Ztwierdzenia1.1.1wynika,żekażdypierścieńmaconajwyżejjednąjedynkę.
Jedynkępierścieniazwykleoznaczasięsymbolem1.KażdyzpierścieniZ,QiR
zpoprzedniegoprzykładujestpierścieniemzjedynką.Jednakżepierścień2Zjest
pierścieniembezjedynki.
Definicja1.3.3.ElementxpierścieniaPnazywamydzielnikiemzera,jeśli
x/=0iistniejeelementy∈P−{0},takiże
x◦y=0lub
y◦x=0.
Przykład103020ŻadenzpierścieniZ,2Z,QiRzprzykładu1.3.1niemadzielników
zera.
Przykład103030Wiemyjuż(zob.tw.1.2.4),żezbiórZn(n>1)jestgrupąprze-
miennązewzględunadodawaniemodulon.Bezpośredniopodowodzietwierdzenia
1.2.4wspomnianotakże,żemnożeniemodulonjestłączneiprzemiennewzbiorzeZn.
Mnożenietojesttakżelewostronnierozdzielnewzględemdodawaniamodulon,bodla
dowolnychxjyjz∈Znmamy
x⊗n(y⊕nz)=x⊗n[y+z]
n=[xl[y+z]n]
n
(zdefinicjidziałań⊕ni⊗n)
=[xl(y+z)]
=[(xly)+(xlz)]
n
n
(zwłasności(1.8))
(zrozdzielnościzwykłegomnożenialiczb
całkowitychwzględemzwykłegododawanialiczbcałkowitych)
=[xly]
=(x⊗ny)⊕n(x⊗nz).
n⊕n[xlz]
n
(zdefinicjidziałania⊕n)
(zdefinicjidziałania⊗n)
Stądizprzemiennościmnożenia⊗nwynikatakżeprawostronnarozdzielnośćmno-
żenia⊗nwzględemdodawania⊕n.Zewszystkichtychobserwacjiwynika,żesystem
(Znj⊕nj⊗n)jestpierścieniemprzemiennym.Jestoczywiste,żeliczba1jestjedynką
tegopierścienia.
