Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Pierścieńiciało
Definicja1.3.4.NiechPbędziepierścieniemzjedynką.Elementx∈Pnazy-
wamyodwracalnymwpierścieniuP,gdyistniejeelementx′∈P(zwanyelemen-
Elementodwracalny
temodwrotnymelementux),takiże
Elementodwrotny
x◦x′=x′◦x=1.
Ztwierdzenia1.1.2wynika,żedlakażdegoelementuxpierścieniaistniejeco
najwyżejjedenelementodwrotnydoelementux.Elementtenzwykleoznaczamy
przezx11.
Definicja1.3.5.NiechKbędziepierścieniemprzemiennymzjedynką.Mówimy,
żeKjestciałem,gdykażdyniezerowyelementxpierścieniaKjestodwracalny.
Ciało
Równoważnie,systemalgebraiczny(Kj⊕j⊗),wktórymKjestzbioremmają-
cymconajmniejdwaelementy,a⊕i⊗sądziałaniamiwzbiorzeK(zwanymi,
odpowiednio,dodawaniemimnożeniem),nazywamyciałem,gdy:
1.(Kj⊕)jestgrupąprzemienną:
(a)∀x,y∈Kx⊕y=y⊕x;
(przemiennośćdodawania)
(b)∀x,y,z∈Kx⊕(y⊕z)=(x⊕y)⊕z;
(łącznośćdodawania)
(c)∃o∈K∀x∈Kx⊕0=x;
(elementneutralnydodawania)
(d)∀x∈K∃1x∈Kx⊕(−x)=0;
(elementprzeciwnywzględemdodawania)
2.(K−{0}j⊗)jestgrupąprzemienną:
(e)∀x,y∈K1{o}x⊗y=y⊗x;
(przemiennośćmnożenia)
(f)∀x,y,z∈K1{o}x⊗(y⊗z)=(x⊗y)⊗z;
(łącznośćmnożenia)
(g)∃1∈K1{o}∀x∈K1{o}x⊗1=x;
(elementneutralnymnożenia)
(h)∀x∈K1{o}∃x−1∈K1{o}x⊗x
11=1;(elementodwrotnywzględemmnożenia)
3.mnożenie⊗jestrozdzielnewzględemdodawania⊕:
(i)∀x,y,z∈Kx⊗(y⊕z)=(x⊗y)⊕(x⊗z).
19
Przykład103040Działaniazwykłegododawaniaizwykłegomnożenialiczbrzeczy-
wistychmająwłasności(a)—(i)powyższejdefinicji,więczbiórliczbrzeczywistychR
zezwykłymdodawaniemizwykłymmnożeniemliczbrzeczywistychjestciałem.Po-
dobnie,zbiórliczbwymiernychQ(zezwykłymdodawaniemizwykłymmnożeniem
liczbwymiernych)jestciałem.ZbiórliczbcałkowitychZ(zezwykłymdodawaniem
izwykłymmnożeniemliczbcałkowitych)jestpierścieniemprzemiennymzjedynką,ale
niejestonciałem,boniektórejegoniezeroweelementyniesąodwracalne(jedynymi
odwracalnymielementamipierścieniaZsą1i11).
Przykład103050Zfaktu,że(Znj⊕nj⊗n)jestpierścieniemprzemiennymzjedynką
(zob.prz.1.3.3),wynika,żesystemtenjestciałemwtedyitylkowtedy,gdykażdy
elementzbioruZn1{0}jestodwracalny.Wobecwniosku1.2.2,takjestwtedyitylko
wtedy,gdynjestliczbąpierwszą.ZatemzbiórZn(zdodawaniemimnożeniemmodulo
n)jestciałemwtedyitylkowtedy,gdynjestliczbąpierwszą.
Inneważneprzykładygrup,pierścieniiciałprzedstawionowkolejnychrozdzia-
łach.
