Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Grupaijejpodgrupy
Stądjużwynika,żedziałanie⊕njestłączne,bofaktyczniemamy
x⊕n(y⊕nz)
=
x⊕n[y+z]
n=[x+[y+z]n]
n
=
[x+(y+z)]
n=[(x+y)+z]
n
=
[[x+y]
n+z]
n
=[x+y]
n⊕nz=(x⊕ny)⊕nz.
Elementemneutralnymdziałania⊕njestliczba0,bodlakażdegox∈Znmamy
x⊕n0=[x+0]
n=[x]
n=x.
Łatwozaobserwować,żeelementemprzeciwnymdox∈Znjestelement1x,gdzie
1x={0jgdyx=0j
n1xj
gdyx/=0.
Wkońcu,działanie⊕njestprzemienne,bodladowolnychliczbxjy∈Znmamy
x⊕ny=[x+y]
n=[y+x]
n=y⊕nx.I
Ponieważdlakażdegox∈Znmamy1⊗nx=[1·x]n=[x]n=xjwięcliczba
1jestelementemneutralnymmnożenia⊗nwzbiorzeZn.Zauważmytakże,że
mnożenie⊗njestprzemienne,bo
x⊗ny=[x·y]n=[y·x]n=y⊗nx
(1.11)
dladowolnychxjy∈Zn.Korzystajączwłasności(1.8),możnapokazać,żemno-
żenie⊗njestłącznewzbiorzeZn(zob.ćw.1.2.3).Jednakżestruktura(Znj⊗n)
niejestgrupą,bowzbiorzeZnconajmniej0niejestelementemodwracalnym
zewzględunadziałanie⊗n.PełnącharakterystykęelementówzbioruZnodwra-
calnychzewzględunadziałanie⊗nprzedstawionownastępnymtwierdzeniu.
Definicja1.2.3.Mówimy,żeliczbycałkowiteaibsąwzględniepierwsze,gdy
liczba1jestnajwiększymwspólnymdzielnikiemliczbaib.Możnaudowodnić,
żeliczbycałkowiteaibsąwzględniepierwszewtedyitylkowtedy,gdy
ax+by=1
dlapewnychliczbcałkowitychxiy.
Twierdzenie1.2.5.ElementxzbioruZnjestodwracalny(zewzględunadzia-
łanie⊗n)wtedyitylkowtedy,gdyliczbyxinsąwzględniepierwsze.
Dowód0Napoczątekzałóżmy,żeyjestelementemodwrotnymdlax∈Znwzględem
działania⊗n.Wtedyx⊗ny=[xly]
n=1idlategoxy=nk+1dlapewnegok∈Z.
Stąd
xy+n(1k)=1
itodowodzi,żeliczbyxinsąwzględniepierwsze.
Załóżmyteraz,żeliczbyxinsąwzględniepierwsze.Niechaibbędąliczbami
całkowitymi,takimiże
xa+nb=1.
(1.12)
Ponieważ[a]
n=a1nk(dlapewnegok∈Z),więc,wobec(1.12),mamy
x⊗n[a]
n=[xl(a1nk)]
n=[11nb1nkx]
n=1.
Todowodzi,że[a]
njestodwrotnościąelementux.I
Wniosek1.2.1.KażdyniezerowyelementxzbioruZnjestodwracalny(ze
względunadziałanie⊗n)wtedyitylkowtedy,gdynjestliczbąpierwszą.
Wniosek1.2.2.Struktura(Zn−{0}j⊗n)jestgrupąwtedyitylkowtedy,gdyn
jestliczbąpierwszą.
15
