Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Grupaijejpodgrupy
teżjestbijekcją.Składanieodwzorowańjestłączne:dladowolnychtrzechfunkcjif,g
ihzezbioruFmamyf◦(g◦h)=(f◦g)◦h,bo
(f◦(g◦h))(x)=f((g◦h)(x))=f(g(h(x)))
=(f◦g)(h(x))=((f◦g)◦h)(x)
dlakażdegox∈X.OdwzorowanietożsamościoweIXzbioruX(czylifunkcjaIX:X→
X,takażeIX(x)=xdlakażdegox∈X)jestbijekcjąnazbiorzeX.Ponieważdla
każdegof∈Fikażdegox∈Xjest
(f◦IX)(x)=f(IX(x))=f(x)i(IX◦f)(x)=IX(f(x))=f(x)j
więcf◦IX=f=IX◦fitodowodzi,żeodwzorowanietożsamościoweIXjest
elementemneutralnymzłożenia◦.Dlakażdejbijekcjif∈Fistniejeodwzorowanie
odwrotnef11:X→X(takieżef◦f11=IX=f11◦f),któreteżjestbijekcją
nazbiorzeX.Stądwynika,żepara(Fj◦)jestgrupą.Jesttotzw.grupasymetryczna
zbioruX.Bezproblemumożnazauważyć,żegrupa(Fj◦)jestnieprzemienna,gdyzbiór
Xmaconajmniejtrzyelementy(zob.ćw.1.4.1).
Przedstawmyterazkilkapodstawowychwłasnościdziałaniawgrupie.Własności
tepozwoląsprawniejoperowaćelementamigrupy.
Twierdzenie1.2.1(prawoskracaniawgrupie).Wgrupie(Gj◦)dladowolnych
elementówajbjc∈Gmamy:
(a)jeślia◦b=a◦c,tob=c;
(b)jeślia◦b=c◦b,toa=c.
Dowód0Załóżmy,żea◦b=a◦c.Wtedytakżea11◦(a◦b)=a11◦(a◦c).Jedno-
cześniezłącznościdziałania◦orazzwłasnościelementuodwrotnegoa11ielementu
neutralnegoemamy
a
11◦(a◦b)=(a11◦a)◦b=e◦b=b
oraz
a
11◦(a◦c)=(a11◦a)◦c=e◦c=c.
Stądwynikaimplikacja(a).Analogiczniedowodzisięprawdziwości(b).I
Twierdzenie1.2.2.Wgrupie(Gj◦)dladowolnychelementówajb∈Gmamy
(a◦b)11=b11◦a11.
Dowód0Złącznościdziałania◦orazzwłasnościelementuodwrotnegoielementu
neutralnegomamy
(a◦b)◦(b
11◦a11)=a◦(b◦b11)◦a11=a◦e◦a11=e
oraz
(b
11◦a11)◦(a◦b)=b11◦(a11◦a)◦b=b11◦e◦b=e.
Stądizdefinicji1.1.4wynikatezatwierdzenia.I
Koniecznienależyzwrócićuwagęnakolejnośćelementówwpoprzednimtwier-
dzeniu.Takolejnośćjestistotnawkażdejnieprzemiennejgrupie.
Definicja1.2.2.Wgrupie(Gj◦)definiujemycałkowitąpotęgęelementux∈G,
przyjmując,że
xo=eixn+1=xn◦xorazx1n=(xn)11
dlakażdejliczbynaturalnejn.Analogiczniedefiniujemycałkowitąkrotnośćele-
mentuxgrupyGzdziałaniem„dodawania”⊕:
0x=0i(n+1)x=nx⊕xoraz(−n)x=−(nx)
dlakażdejliczbynaturalnejn.
13
