Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
1.Podstawowestrukturyalgebraiczne
Korzystającztejdefinicjiorazztwierdzenia1.2.2,możnadowieśćprawdziwości
poniższegotwierdzenia.
Twierdzenie1.2.3.Wgrupie(Gj◦)dlakażdegox∈Gidowolnychliczbcał-
kowitychminmamy
xm◦xn=xm+noraz(xm)
n=xm
in.
Dodawanieimnożeniemodulon
Niechn>1będzieliczbąnaturalną.Jeślixjestliczbącałkowitą,toprzez[x]
n
oznaczamyresztęzdzieleniaxprzezn.Dlaliczbcałkowitychxiyniechlx,ly,
TxiTybędąliczbamicałkowitymi,takimiże
x=nlx+Txj
y=nly+Ty
i0<TxjTy<n.
Wtedy
[x+y]
n=[n(lx+ly)+Tx+Ty]
n=[Tx+Ty]
n
oraz
[x+[y]n]
n=[nlx+Tx+Ty]
n=[Tx+Ty]
n
itodowodzi,że
[x+[y]n]
n=[x+y]
n
(1.7)
dladowolnychxjy∈Z.Analogicznieuzasadniasię,żedladowolnychliczb
całkowitychxiyjest
[x·[y]n]
n=[x·y]
n.
(1.8)
Wzbiorze
Zn={0j1j2j...jn−1}j
któryjestzbioremwszystkichresztzdzielenialiczbcałkowitychprzezliczbęn,
określamydodawanie⊕nimnożenie⊗nmodulon,przyjmując,że
x⊕ny=[x+y]n
oraz
x⊗ny=[xy]n
dladowolnychliczbxiyzezbioruZn.
(1.9)
(1.10)
Przykład102030Wynikidziałań⊕4i⊗4wzbiorzeZ4przedstawiająnastępującedwie
tabelki,wktórychx⊕4y(ix⊗4y)umieszczononaprzecięciuwierszaoznaczonego
przezxikolumnyoznaczonejprzezy:
⊕4
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
0
1
2
3
i
⊗4
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
0
1
2
3
(Znj⊕n)–grupareszt
modulon
Twierdzenie1.2.4.(Znj⊕n)jestgrupąprzemienną.
Dowód0Wobec(1.7),dladowolnychxjyjz∈Znjest
[x+[y+z]
n]
n
=[x+(y+z)]
n
i
[(x+y)+z]
n=[[x+y]
n+z]
n
.
