Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Działaniaiichwłasności
Definicja1.1.5.Niech∗i◦będądziałaniamiwzbiorzeX.Mówimy,żedzia-
łanie◦jestlewostronnierozdzielnewzględemdziałania∗,gdy
x◦(y∗z)=(x◦y)∗(x◦z)
11
(1.5)
Lewostronnarozdzielność
dladowolnychelementówx,yizzezbioruX.Odziałaniu◦mówimy,żejest
onoprawostronnierozdzielnewzględemdziałania∗,gdy
(y∗z)◦x=(y◦x)∗(z◦x)
(1.6)
Prawostronnarozdzielność
dladowolnychxjyjz∈X.Mówimy,żedziałanie◦jestrozdzielnewzględem
działania∗,gdyjestonojednocześnielewo-iprawostronnierozdzielnewzględem
działania∗.Z(1.5)i(1.6)wynika,żejeślidziałanie◦jestprzemienne,tojest
onorozdzielnewzględemdziałania∗,podwarunkiemżejestonolewostronnie
(lubprawostronnie)rozdzielnewzględemdziałania∗.
Przykład101050WzbiorzeRdanesądziałania∗i◦,takieże
x∗y=x+y+2
i
x◦y=
x+y
2
.
Zbadać:(a)rozdzielnośćdziałania∗względemdziałania◦;(b)rozdzielnośćdziałania
◦względemdziałania∗.
Ponieważkażdezdziałań∗i◦jestprzemienne,wystarczyzbadaćichlewostronne
rozdzielności.
(a)Dladowolnychtrzechliczbxjyjz∈Rmamy
x∗(y◦z)=x∗(
y
2
+
z
2)=x+
y
2
+
z
2
+2
oraz
(x∗y)◦(x∗z)=(x+y+2)◦(x+z+2)=x+
y
2
+
z
2
+2.
Stądwynikarozdzielnośćdziałania∗względemdziałania◦.
(b)Dladowolnychtrzechliczbxjyjz∈Rmamy
x◦(y∗z)=x◦(y+z+2)=
x
2
+
y
2
+
z
2
+1j
ale
(x◦y)∗(x◦z)=(
x
2
+
y
2)∗(
x
2
+
z
2)=x+
y
2
+
z
2
+2.
Stądwynika,żedziałanie◦niejestrozdzielnewzględemdziałania∗.
Definicja1.1.6.Niech∗będziedziałaniemdwuargumentowymwzbiorzeX
iniechYbędzieniepustympodzbioremzbioruX.Mówimy,żezbiórYjest
zamkniętyzewzględunadziałanie∗,gdy
x∗y∈Y
dladowolnychelementówxiyzezbioruY.
Przykład101060Niech∗będziedziałaniemdwuargumentowymnazbiorzeR,gdzie
x∗y='x'1y
dla
(xjy)∈R×R.
ZbiórliczbnaturalnychN⊆Rniejestzamkniętyzewzględunadziałanie∗,bo,
przykładowo,x=4∈Niy=5∈N,alejednocześnie
x∗y=4∗5='4'15=11/∈N.
