Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
I.PODSTAWOWEWŁASNOŚCIZBIORÓW
Odpowiedź1:A/∈A.WówczaszbiórAmarozpatrywanąwłasność,skąd
wynika,żenależygozaliczyćdoelementówzbioruA;zatemA∈Aiotrzymujemy
sprzecznośćzprzyjętymzałożeniem,żeA/∈A.
Odpowiedź2:A∈A.PonieważAjestelementemzbioruA,więcspełniawła-
snośćwyróżniającąelementyzbioruA.ZatemA/∈Aidostajemyznówsprzecz-
ność,gdyżzakładaliśmytymrazem,żeA∈A.
TęsprzecznośćwykryłnapoczątkuXXwiekuBertrandRusselliodtądjest
onanazywanaantynomiąRussella.Zauważmy,żewogóletrudnojestwyobrazić
sobiezbiórA,którysamjestswoimwłasnymelementem—żadenzezbiorów,
zktórymiCzytelnikzetkniesięnawykładachanalizybądźalgebry,niebędzie
miałtejwłasności.Przyjmijmywięc,że,zgodniezintuicją,takichzbiorówwogóle
niema:nieistniejezbiórxtaki,żex∈x.Wynikastąd,żezdefiniowanyprzez
nashipotetycznyzbiórA={x:xjestzbioremix/∈x}byłby„zbiorem,do
któregonależąwszystkiezbiory”.Aletakizbiórbyłbyswoimwłasnymelementem,
co,jakwłaśnieprzyjęliśmy,jestniemożliwe.Przyokazjipokazaliśmywięc,że
nieistniejezbiór,doktóregonależąwszystkiezbiory.Zatem„obiekty”,takiejak
Anienależądoświatazbiorówirozwijanatuprzeznasteoriazbiorówichnie
dotyczy.Namarginesieodnotujmyjednak,żemożnajebadaćwramachtzw.
teoriiklas.
Widzimyzatem,żezbiorynależydefiniowaćwsposóbostrożny.Przede
wszystkimtrzebadokładniepowiedzieć,corozumiemyprzezsłowo„własność”.
Niebędziemytujednaktegorobić—kwestiętęporuszamyniecodokładniej
wwykładzie2.idodatkuF.Następniemożnaalboograniczyćswobodęwy-
boruwłasności,zapomocąktórychwolnodefiniowaćzbiory(tędrogęwybrali
RusselliWhitehead,którzypierwsipróbowalizaradzićantynomiiRussella),albo
należyzmniejszyćswobodęwyboruelementówx,zktórychtworzysiędany
zbiór.Wobecnieprzyjmowanychaksjomatykachteoriimnogościnaogółwy-
bierasiętodrugierozwiązanie.Itakmówimy,żewłasnośćW(x)wyróżnia
spośródelementówdanegozbioruBelementy,zktórychtworzonyjestnowy
zbiór.
Przyjmujemywięcnastępującyschematdefiniowaniazbiorów:dladowol-
negozbioruBistniejezbiór
A={x∈B:W(x)},
złożonyztychitylkotychelementówzbioruB,któremajądanąwłasnośćW(x).
Jednocześniejednaknierezygnujemyzestosowaniaprostszychoznaczeńpo-
staciA={x:W(x)}wsytuacjach,wktórychistnieniezbioruAniebudzi
wątpliwości,tzn.gdybądźzkontekstuwynika,zjakiegozbioruBelementytwo-
rzącezbiórAzostaływyróżnionezapomocąwłasnościW(x),bądźteżistnienie
zbioruAgwarantująodpowiednieaksjomatyteoriimnogości.
Należywyraźniepodkreślić,żetensamzbiórmożebyćzdefiniowanynawiele
różnychsposobów:równośćzbiorówniezależyodsposobuichzdefiniowania,aje-
