Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
CZĘŚĆI
Podstawowewłasnościzbiorów
WYKŁAD1
ZBIORY
IDZIAŁANIANANICH
Zasadniczymcelemtychwykładówjestzapoznanieczytelnikazewstępemdoteo-
riimnogości,czyliinaczejmówiąc,teoriizbiorów(słowomnogośćjestarchaicznym
synonimemsłowazbiór).Pojęciezbioruzajmujewewspółczesnejmatematyce
ważnemiejsce.Popierwsze,matematykaposługujesięjęzykiemteoriimnogości.
Wtymjęzykudefiniujesięwieleważnychpojęćbadanychprzezmatematykę,
takichjaknaprzykładrelacja,funkcja,relacjaporządku.Pojęciatewystępują
powszechniewewszystkichdziałachmatematyki:wanalizie,algebrze,teoriipraw-
dopodobieństwa,atakżewwieludziałachmatematykistosowanejiwinforma-
tyce.Podrugie,opróczwspomnianejjużroliteoriimnogościjakojęzyka,wktó-
rymwygodnieformułujesięfaktyirozumowaniamatematyczne,dużeznaczenie
mająteżniektórejejtwierdzenia.Naprzykładjednymzpodstawowychpojęć
analizymatematycznejjesttakzwanamiaraLebesgue’a:jednowymiarowamiara
Lebesgue’ajestuogólnieniempojęciadługościodcinka—zajejpomocąmożna
opróczodcinków„zmierzyć”takżeznaczniebardziejskomplikowanepodzbiory
prostejrzeczywistej.Otóżdozdefiniowaniaipoprawnegoposługiwaniasięmiarą
Lebesgue’aniezbędnajestznajomośćpojęć,takichjakσ-ciałozbiorówizbiory
przeliczalne,którychpodstawowewłasnościpoznamywłaśniewdalszymciągu
tychwykładów.Musimyrównieżznaćkilkainnychpojęćifaktówzteoriimno-
gości,bydowieść,żemimowszystkoniekażdypodzbiórprostejjestmierzalny,
czyliniekażdydasięzapomocąmiaryLebesgue’a„zmierzyć”.Ważnymtwier-
dzeniemteoriimnogości,znajdującymzastosowaniewwieludziałachmatematyki
(np.walgebrzeczytopologii)jesttakzwanylematKuratowskiego–Zorna,który
udowodnimypodkoniecnaszychwykładów.Wreszciewartowspomniećotym,że
współczesnatopologiakorzystazbardzozaawansowanychtwierdzeńteoriimno-
gości,znaczniewykraczającychpozaprogramtychwykładów.
Innymważnymcelemteoriimnogości,oznaczeniumożebardziejfilozoficz-
nym,jestpokazaniejednegozmożliwychsposobówzdefiniowaniapodstawowych
pojęćmatematyki,takichjaknaprzykładliczbynaturalneczyrzeczywiste;tych
pojęćwszkoleniedefiniowano,araczejograniczanosiędoopisuichwłasności,
kształtującodpowiednieintuicje.Samsposóbzdefiniowaniatychpojęćniema
