Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
I.PODSTAWOWEWŁASNOŚCIZBIORÓW
{a,b}jestzbiorem,któregojedynymielementamisąaib(nazywanyparą
nieuporządkowanąelementówaib),
{a,b,c}jestzbiorem,któregojedynymielementamisąa,b,c
itakdalej:zakażdymrazemokreślamyzbiór,wyszczególniającjegoelementy
wewnątrzparynawiasówklamrowych.
Zzasadyrównościzbiorówwynika,żezbiory{a},{a,b},{a,b,c}itd.sąwy-
znaczonejednoznacznie.Awięcdladowolnegoaistniejedokładniejedenzbiór,
któregojedynymelementemjesta.Właśnietenzbióroznaczyliśmysymbolem
{a}.Podobnie,dladowolnychaibistniejetylkojedenzbiór,któregoelementami
sądokładnieaib—zbióroznaczonywyżejsymbolem{a,b}.Możnazadaćpy-
tanie,czymjestzbiór{a,b},jeślia=b.Otóżwtedytenzbiórmatylkojeden
element:a.Awięcpoprostu{a,a}={a},gdyżzbiory{a}i{a,a}majątesame
elementy.Podobnie{1,1,1,2}={1,2},{2,3,2,3,2,3}={2,3}itp.Równość
{a,b}={b,a}tłumaczy,dlaczegozbiór{a,b}nazwaliśmyparąnieuporządko-
waną(chociażsamterminparajestmylący,gdyżwprzypadku,gdya=b,zbiór
tenjestjednoelementowy).Napierwszyrzutokaniewidaćpowodu,dlaktórego
mielibyśmyzajmowaćsięzbioramipostaci{a,b},wktórycha=b.Możesię
jednakzdarzyć,żeniewiemyzgóry,czyzachodzirównośća=b.Naprzykład
możemynapisać,żejeśli∆=b2−4acł0,tozbiorempierwiastkówrównania
kwadratowegoax2+bx+c=0jestzbiór{-b-√∆
2a
,-b+√∆
2a
}.Oczywiście,jeśli
∆=0,toobawyszczególnioneelementysąrówneidefiniowanyzbiórskładasię
ztylkojednegoelementu.
Należywtymmiejscuuświadomićsobie,żezbiorymogąbyćelementamiin-
nychzbiorów.(Przypominamy,żenieprzyjęliśmyumowy,iżkażdyobiektświata
matematycznegojestzbiorem.Jeślitakąumowęprzyjmiemy,toelementamikaż-
degozbiorusąwyłączniezbiory).Stosującpowyższyschemattworzeniazbiorów
zdanychelementów,możnanaprzykładokreślićzbiór{{1,2}},czylizbiórjed-
noelementowy,któregojedynymelementemjestparanieuporządkowanaliczb1
i2.Zauważmy,że{{1,2}}/={1,2}.Pierwszyzbiórmadokładniejedenelement:
parę{1,2}.Drugizbiórmadwaelementy:liczby1i2.Awięctezbiorysąróżne.
Zbiór,któregoelementamisązbiory,będziemynazywaćrodzinązbiorów.
Zbiór{{1,2}}jestwięcprzykłademjednoelementowejrodzinyzbiorów.Nato-
miastzbiór{{1},{2}}jestdwuelementowąrodzinązbiorów,czyliparą(nieupo-
rządkowaną):singletonaliczby1isingletonaliczby2.Tarodzinazbiorówjest
oczywiścieróżnaodrodziny{{1,2}}.Oczywiście,jeśliprzyjmiemyumowę,że
każdyobiektjestzbiorem,tokażdyzbiórjestrodzinązbiorów.Mimotorów-
nieżwtakimprzypadkuczęstomówimyorodzinachzbiorów.Mianowicieowielu
obiektachświatamatematycznegoniemyślimyjakozbiorach.Przekonamysię,że
wszystkieliczbymożnazdefiniowaćjakozbiory,nigdyjednakpóźniejnieodwołu-
jemysiędotejdefinicjiinietraktujemyliczbjakzbiorów.Będziemywięcmyśleć
oprzedziałachjakozbiorachliczbimówićorodzinachprzedziałów,podkreślając
wtensposób,żemówimyozbiorach,którychelementamisązbioryliczb.
