Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
Stosującprawoeliminacjiimplikacji(1.14),otrzymujemy
P⇔(¬p∨¬q)∧(¬q∨¬r)∧(¬r∨¬p).
1.Rachunekzdań
(1.20)
Załóżmyniewprost,żeprzynajmniejdwaspośródzdańp,qirsąpraw-
dziwe.Oznaczato,żeprzynajmniejdwaspośródzdań¬p,¬qi¬rsą
fałszywe.Alewtedyjednazalternatywwzdaniu(1.20)musibyćfałszy-
wa,zatemcałezdaniePjestfałszywe.Otrzymanasprzecznośćkończy
dowód.
(3)Wprzypadkusłoniazprzykładu1.1(3)najprościejzauważyć,żemaon
czterynogiiniejestwielbłądem,czylip=0iq=1.Oznaczato,że
rozumowaniesłonia,zapisanezdaniem(1.4)jestfałszywe.
Zauważmyjeszcze,żegdybysłońwswoichrozmyślaniachzamiastspo-
strzeżenia:wszystkiewielbłądymajączterynogistwierdził,że:każdeczwo-
ronożnezwierzęjestwielbłądem,tojegorozumowaniezapisanewpostaci
(q⇒p)∧q⇒p
byłobypoprawne5).
Wmatematyceczęstospotykamysięztwierdzeniamipostacip⇒q,gdzie,
przypomnijmy,ptozałożenie,aqtoteza.Twierdzeniemodwrotnymdotego
twierdzenianazywamytwierdzenieq⇒p.Ponieważzdanie
(p⇒q)⇔(q⇒p)
niejesttautologią(niejestniąrównieżwynikanie(p⇒q)⇒(q⇒p)),zatemtwier-
dzeniap⇒qiq⇒pniesąrównoważne,cowięcej,żadneznichniewynikazdrugiego.
Należyotymzawszepamiętaćiniemylićzałożeniaztezą,atwierdzeniaztwier-
dzeniemdoniegoodwrotnym,gdyżprowadzitodofałszywychwnioskowań(jak
usłoniazprzykładu1.1(3)).
Przykład1.7.Rozważmynastępujące,niepoprawnerozumowanie:
Jeślix+2=√4−x,tox2+4x+4=4−x,więcx=−5lubx=0.Zatem
liczby−5i0sąrozwiązaniamirównaniax+2=√4−x.
Okazujesię,żewskazanieprzyczynyniepoprawnościtegorozumowania
możesprawiaćkłopoty–studenciczęstozabłąduważająpodniesienieobu
stronwyjściowejrównościdokwadratu,gdyżwszkoleniepozwalanote-
gorobić.Tymczasemzrównościdwóchliczbwynikaprzecieżrównośćich
kwadratów,czyliproblemleżygdzieindziej.
Zacznijmyodsformalizowaniazapisu.Fakt,żeliczbarzeczywistaajestroz-
wiązaniemrównaniax+2=√4−xmożemywyrazićnastępująco:
x=a⇒x+2=√4−x.
5)Należywtymmiejscuodróżnićpoprawnośćrozumowaniaodprawdziwościprzesłanki.
