Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Ważniejszeprawarachunkuzdań
17
Wobumetodachwprzykładzie1.4otrzymaliśmytakiukładwartościlo-
gicznychzmiennychzdaniowych,dlaktóregodanezdaniebyłofałszywe.Innymi
słowy,znaleźliśmykontrprzykładnastwierdzenie,żezdanietojesttautologią.
Zrozumieniepojęciakontrprzykładujestbardzoważnedoprzyswojeniaumiejęt-
nościdowodzenia,dlategojeszczedoniegowrócimywpodrozdziale3.3.
1.3.Ważniejszeprawarachunkuzdań
Omówimyteraztautologieipodamyichprostezastosowania.Udowodnienie,
żewymienioneponiżejzdaniasąistotnietautologiami,pozostawiamyjako
ćwiczenie.
DĘlNlcJ^1.2.Mówimy,żezdanialogiczneφiψsąrównoważne,jeślizda-
nieφ⇔ψjesttautologią.
Zauważmy,żeprawiewszystkiepodaneniżejprawamówiąorównoważności
pewnychzdań.Zaczniemyjednakodwyjątku.
Prawowyłączonegośrodka
p∨¬p.
(1.5)
Prawotomówi,żewmatematyceniema„trzeciejdrogi”2)–jesttylkopraw-
daalbofałsz.Podamyprzykładzastosowaniaprawawyłączonegośrodka.
Przykład1.5.Czyistniejąliczbyniewymierneaib,takieżeabjestliczbą
wymierną?
Tak.Rozważmyliczbę(√2)√2.Zgodniezprawemwyłączonegośrodkasą
dwiemożliwości.Jeśliliczbatajestwymierna,toprzyjmujemya=b=√2.
Jeślizaśliczba(√2)√2jestniewymierna,to
iwystarczyprzyjąća=(√2)√2ib=√2.
((√2)√2)
√2
=(√2)√2·√2=(√2)2=2
Zauważmy,żerozumowaniezprzykładu1.5niewystarcza,bywypełnićpo-
lecenienastępujące:Wskażliczbyniewymierneaib,takieżeabjestliczbąwymierną3).
Prawosprzeczności
¬(p∧¬p).
(1.6)
Prawaidempotentnościalternatywyikoniunkcji
p∨p⇔p,
p∧p⇔p.
(1.7)
2)Tertiumnondatur(łac.).
3)Udowodniono,żeliczba(√2)√2jestniewymierna,jednakdowódjesttrudny.
