Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
1.Rachunekzdań
wynika,że2=(√2)2=a
b2,czyli2b2=a2.Wnioskujemywięc,żeliczbaa2
2
jestparzysta.Wtedyjednakliczbaarównieżjestparzystaiistniejeliczbacał-
kowitactaka,żea=2c.Wówczas2b2=(2c)2,czylib2=2c2.Podobniejak
poprzedniownioskujemy,żeliczbabjestparzysta.Tojednakjestsprzeczne
zfaktem,żeliczbyaibsąwzględniepierwsze.Zatemliczba√2niemoże
byćwymierna.
Zastanowimysięteraz,jaksprawdzić,czydanezdaniejesttautologią.Zauważ-
my,żesytuacjajestniecotrudniejszaniżwprzykładzie1.2,gdyżteraznieznamy
odpowiedzi.Tymrazemrównieżskorzystamyzprzykładu.
Przykład1.4.Sprawdzimy,czyzdaniep⇒(q∨(p⇒¬r))jesttautologią.
Podobniejakpoprzedniomożemytozrobićnadwasposoby.
(1)Tabelka.Tworzymytabelkęwartościlogicznychnaszegozdania:
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
r
0
1
0
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
p⇒(q∨(p⇒¬r))
1
1
1
1
1
0
1
1
Widać,żedlap=r=1iq=0naszezdaniejestfałszywe,zatem
niejesttautologią.Tensposóbzawszedajejednoznacznąodpowiedź,
majednakwspomnianewcześniejmankamenty.Wynikzadaniamożna
osiągnąćszybciej,umiejętniestosującmetodęskróconą.
(2)Metodaskrócona.Sprawdzamy,czyzałożeniefałszywościnaszegozda-
niadoprowadzadosprzeczności.Jeślitak,tonamocywnioskowanianie
wprostzdaniejesttautologią.Jeżelinie,tojestdużaszansa,żeotrzyma-
myprzykładnato,żezdanietautologiąniejest.Konkretnie
p
p=1
⇒
(q
∨
(p
⇒
¬r))
0
0
q=0
0
p=1
0
r=1
Widać,żedoszliśmydop=r=1iq=0.Szybkiesprawdzeniepokazu-
je,żedlatychwartościzmiennychzdaniowychnaszezdaniejestfałszy-
we,czyliniejesttautologią.
