Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Zbioryuporządkowaneiliniowouporządkowane
żezbiory(XjŚ)oraz(YjŚ)sązbioramiizomorficznymi,cooznaczamy
(XjŚ)≃(YjŚ).
27
Wprzypadkuzbiorówliniowouporządkowanychwarunekdefiniującyzanurzenie
orazizomorfizmmożnaniecouprościć.Łatwiejjednakwtymprzypadkuposłużyć
sięsilnymporządkiemodpowiadającymdanemuporządkowi.
Lemat2.9.Jeśli(XjŚ)jestzbioremliniowouporządkowanym,tofunkcjaf:
XąYjestzanurzeniem(XjŚ)wzbióruporządkowany(YjŚ)wtedyitylko
wtedy,gdydladowolnychxjg∈Xzachodzi:
jeślix<gjtof(x)≺f(g).
Dowód.Oczywiściewaruneksformułowanywlemaciejestkoniecznydotego,
abyfbyłozanurzeniem.Pokażemy,żejestontakżewystarczający.Istotnie,jeśli
xŚg,toalbox<g,albox=g.Wówczasf(x)≺f(g)albof(x)=f(g).Tak
więcf(x)Śf(g).Pozostajewykazać,żef(x)Śf(g)pociągaxŚg.Zliniowości
porządkuŚwynika,żexŚgalbog<x.Zauważmy,żemożemiećmiejsce
tylkopierwszaewentualność.Gdybyg<x,tonamocyzałożeniamielibyśmy
f(g)≺f(x),cojestniemożliwe.
Funkcjęf:XąYspełniającąwarunekzlematu2.9nazywamyfunkcjąściśle
rosnącązezbioruuporządkowanego(XjŚ)wzbióruporządkowany(YjŚ).Zatem
fjestizomorfizmemzbioruliniowouporządkowanego(XjŚ)nazbióruporządko-
wany(YjŚ)wtedyitylkowtedy,gdyfjestściślerosnącaorazfjestsurjekcją,
czylif[X]=Y.
Załóżmy,
że(YjŚ)oraz(XjŚ)sązbioramiuporządkowanymii(YjŚ)⊑i(XjŚ),
czyliżeporządekŚnazbiorzeYjestindukowanyprzezporządekŚ.Jeślidla
każdegog∈Yzachodziwarunek
{x∈X:x<g}⊆Yj
tomówimy,żezbiór(YjŚ)jestprzedziałempoczątkowymzbioru(XjŚ).Naozna-
czeniefaktu,że(YjŚ)jestprzedziałempoczątkowymzbioru(XjŚ)używaćbę-
dziemysymbolu(YjŚ)§(XjŚ)lubpoprostuY§X,oilezkontekstujasno
będziewynikaćjakierelacjemamynamyśli.Zdefinicjiwidzimy,żeprzedziałpo-
czątkowyzbioruuporządkowanego(XjŚ)totakipodzbiórYzbioruX,żejeśli
g∈Yorazx<g,tox∈Y.Przykładamiprzedziałówpoczątkowychwdowolnym
zbiorzeuporządkowanym(XjŚ)sązbiórpusty,całyzbiórX,przedziałypostaci
(łja)oraz(łja].
Lemat2.10.Jeślif:XąYjestizomorfizmemzbioruuporządkowanego(XjŚ)
nazbióruporządkowany(YjŚ),toobrazf[A]przedziałupoczątkowegoAzbioru
(XjŚ)jestprzedziałempoczątkowymzbioru(YjŚ).
Dowód.Załóżmy,żeg∈f[A]orazg′≺g.Niecha∈Abędzietakimelementem,
żeg=f(a).PonieważfjestsurjekcjązXnaY,więcistniejetakielement
a′∈X,żeg′=f(a′).Skorofjestizomorfizmem,toa′<a,awięca′∈A,boA
jestprzedziałempoczątkowym.Takwięcg′=f(a′)∈f[A].
