Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
2.Porządki
(2)i(3):Częścidrugiejlematudowodzisięanalogicznie,astwierdzeniezawarte
wczęścitrzeciejwynikawprostzdefinicji.
Dodajmyjeszcze,żeniezawszeelementmaksymalnyjestnajwiększyinie
zawszeelementminimalnyjestnajmniejszy.
Bardzoważnymwteoriizbiorówuporządkowanychjestpojęciekresugórne-
goikresudolnego.NiechA⊆X,gdzie(XjŚ)jestzbioremuporządkowanym.
Elementx∈XnazywamyograniczeniemgórnymzbioruAwzględemrelacjiŚ,
gdyaŚxdlakażdegoa∈A.Elementg∈Xnazywamyograniczeniemdolnym
zbioruA,gdygŚadlakażdegoa∈A.ZbiórAnazywamyograniczonymzgóry
(ograniczonymzdołu),jeślimaonograniczeniegórne(dolne).Zbiórograniczony
zdołuizgórynazywamyograniczonym.JeślizbiórAjestograniczonyzgóry
iwśródograniczeńgórnychzbioruAistniejeelementnajmniejszyxo,toelement
tennazywamykresemgórnymzbioruAioznaczamysymbolemsupA.Takwięc
xo=supA,gdyzachodząnastępującewarunki:
(a)aŚxodlakażdegoa∈Aj
(b)jeśliaŚxdlakażdegoa∈AjtoxoŚx.
AnalogiczniedefiniujemykresdolnyzbioruA—jesttonajwiększeograniczenie
dolnetegozbioru.Kresdolny,oileistnieje,oznaczamysymboleminfA.Takwięc
go=infA,jeślitylkosąspełnionenastępującewarunki:
(a)goŚadlakażdegoa∈Aj
(b)jeśligŚadlakażdegoa∈AjtogŚgo.
Zlematu2.2wynika,żekresgórnyorazkresdolny,oiletylkoistnieją,są
wyznaczonejednoznacznie.
Wwielurozważaniachmożemynapotkaćpotrzebęokreśleniakresuzbiorupu-
stego.Zgodniezdefinicją,każdyelementjestograniczeniemgórnymidolnym
takiegozbioru.Zatemkresemgórnymzbiorupustegojestelementnajmniejszy
danegozbioruuporządkowanego,akresemdolnymelementnajwiększydanego
zbioruuporządkowanego,oileoneistnieją.
Lemat2.3.Wzbiorzeuporządkowanym(XjŚ)dowolnypodzbiórniepustyiogra-
niczonyzgórymakresgórnywtedyitylkowtedy,gdydowolnypodzbiórniepusty
iograniczonyzdołuw(XjŚ)makresdolny.
Dowód.Załóżmy,żewzbiorze(XjŚ)każdypodzbiórniepustyiograniczony
zgórymakresgórny.NiechA⊆Xbędziezbioremniepustymiograniczonym
zdołu.Wówczaszbiór
B={x∈X:xjestograniczeniemdolnymzbioruA}
jestniepustyiograniczonyzgóryprzezdowolnya∈A.Zatemistniejeelement
xo∈XbędącykresemgórnymzbioruB.SkorokażdyelementzbioruAjest
ograniczeniemgórnymzbioruB,tonamocydefinicjikresugórnegoxoŚadla
każdegoa∈A.JeśligŚadlakażdegoa∈A,tog∈B,awięcgŚxo.
Wykazaliśmytymsamym,żexo=infA.
