Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Zbioryuporządkowaneiliniowouporządkowane
25
PorządekŚwzbiorzeXnazywamyzupełnym,gdykażdypodzbiórzbioru
Xmawzbiorze(XjŚ)kresgórny.JeśliporządekŚwzbiorzeXjestzupełny,
tomówimy,żezbiór(XjŚ)jestuporządkowanywsposóbzupełny.Zauważmy,że
zdefinicjiwynika,iżkażdyzbióruporządkowanywsposóbzupełnyjestniepusty.
Lemat2.4.Zbiórjestprzedziałemwzbiorzeliniowouporządkowanymwsposób
zupełnywtedyitylkowtedy,gdywrazzdowolnymielementamiajbnależydoniego
równieżkażdytakielementx,żea<x<b.
Dowód.Wystarczypokazać,żezbiórPmającypowyższąwłasnośćjestprze-
działem.Załóżmy,żeistniejezarównokresdolny,jakigórnyzbioruPrówne
odpowiedniocid.JeślicorazdnienależądoP,toPjestprzedziałemotwar-
tym(cjd).Istotnie,jeślic<x<d,tozdefinicjikresówwynika,żeistniejątakie
x′jg′∈P,żec<x′<x<g′<d.Zatemnamocyzałożeniax∈P.Inkluzja
P⊆(cjd)jestoczywista.Jeślic∈Plubd∈P,tootrzymujemyodpowiednio
równości[cjd)=Pi(cjd]=PlubrównośćP=[cjd]wprzypadku,gdycjd∈P.
Pozostajezauważyć,żegdynieistniejekresdolnyzbioruP,aleistniejed=supP,
toP=(łjd]lubP=(łjd).Podobniewpozostałychprzypadkach.
Lemat2.5.Jeśli(XjŚ)jestzbioremuporządkowanymwsposóbzupełny,to
wzbiorze(XjŚ)istniejeelementnajwiększyinajmniejszyorazkażdypodzbiór
zbioruXma,opróczkresugórnego,takżekresdolny.
Dowód.Wzbiorze(XjŚ)elementemnajwiększymjestsupX.Elementemnaj-
mniejszymjestsup∅.Kresemdolnymzbiorupustegojestelementnajwiększy
w(XjŚ).PonieważkażdyzbiórA⊆Xjestograniczonyzdołu,więcistnienie
kresówdolnychdlazbiorówniepustychA⊆Xwynikazlematu2.3.
Lemat2.6.Jeśli(XjŚ)jestzbioremuporządkowanymwsposóbzupełnyoraz
Y⊆Xjesttakimzbiorem,żesupA∈YdlakażdegoA⊆Y,toYzporządkiem
indukowanymnaYprzezŚjesttakżeuporządkowanywsposóbzupełny.
Dowód.Wystarczyzauważyć,żesupAjestkresemgórnymzbioruAwzględem
porządkuindukowanegoprzezŚnaYdlakażdegoA⊆Y.
Naturalnyprzykładilustrującypojęciekresówstanowizbiórpotęgowyzrela-
cjąinkluzji.
Twierdzenie2.7.ZbiórpotęgowyD(X)wrazzrelacjąinkluzji⊆jestuporząd-
kowanywsposóbzupełny.
Dowód.Relacja⊆jestporządkiem.Mamybowiem:
A⊆Aj
jeśliA⊆BiB⊆AjtoA=Bj
jeśliA⊆BiB⊆CjtoA⊆C
dladowolnychzbiorówAjBjC.
