Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Wektorylosoweiichrozkładyprawdopodobieństwa
21
Możnaudowodnić(patrznp.Krzyśko(2000),s.19),żejeżeliX∼
Np(µ,Σ),todlakażdegowektoraa∈RkikażdejstałejmacierzyAroz-
miaruk×p,wektorlosowyY=AX+a∼Nk(Aµ+a,AΣA
′).
JeżeliX∼Np(µ,Σ)orazX,µiΣsąpodzielonenastępująco:
X=X1
X2,µ=µ1
µ2,Σ=Σ11Σ12
Σ21Σ22,
gdzieX1iµ1sąwektoramiokskładowych,aΣ11jestmacierząstopniak,
towartośćoczekiwanarozkładuwarunkowegoX2|X1=x1jestrówna
E(X2|X1=x1)=b+B
′x1,
gdzie
b=µ2−Σ21Σ
-1
11µ1,
B=Σ-1
11Σ12.
(1.3)
(1.4)
Funkcjadanawzorem(1.3)nazywasięliniowąfunkcjąregresjiwektora
X2względemwektoraX1.MacierzBjestmacierząwspółczynnikówregre-
sji.Funkcja(1.3)jestwykorzystywanadoprognozowaniawartościwektora
X2napodstawiewartościx1wektoraX1.
JeżeliX1,X2,
...,Xnsąniezależnymiwektoramilosowymioiden-
tycznymrozkładzieNp(0,Σ),Σ>0,torozkładprawdopodobieństwasy-
metrycznejmacierzylosowej
A=
Σ
i=1
n
XiX
′
i
nazywamyrozkłademWishartaznstopniamiswobodyiparametremskali
ΣipiszemyA∼Wp(n,Σ),gdziepjeststopniemmacierzyA.
NiechX∼Np(µ,Σ),A∼Wp(n,Σ),gdzieΣ>0in>porazniech
XiAbędąniezależne.Rozkładprawdopodobieństwazmiennejlosowej
T2=nX′A-1X
nazywamyrozkłademT2Hotellingaznstopniamiswobodyipiszemy
T2∼T2
p,n.
Dowodzisię,że
n−p+1
np
T2
p,n∼Fp,n-p+1(δ
2),
gdzieδ2=µ′Σ-1µjestparametremniecentralności.Jeżeliµ=0,toδ2=0
iwówczas
