Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.Prawdopodobieństwowarunkowe
43
Wzór(1.24)łatwouogólnićnaprzypadekwiększejniż2liczbyczynników;np.
prawdopodobieństwoiloczynutrzechczynnikówobliczamykorzystającdwu-
krotniezewzoru(1.24):
P(A1∩A2∩A3)1P(A3|A1∩A2)P(A1∩A2)1P(A3|A1∩A2)P(A2|A1)P(A1)7
(1.25)
przyzałożeniu,żeP(A1∩A2)>0.
Metodąindukcjimatematycznejmożnawykazać,że
P(A1∩A2∩...∩An)1P(An|A1∩...∩Anl1)...P(A2|A1)P(A1)7
przyzałożeniu,żeP(A1∩A2∩...∩Anl1)>0.
PRZYKŁAD10130Naloteriijest100losów,zktórych5wygrywa.Jakiejest
prawdopodobieństwop,żewśródtrzechkupionychlosów:
a)dokładniejedenwygrywa;
b)przynajmniejjedenwygrywa?
SposóbIdlaprzypadkua):
p1
(
95
2)l(
(
100
3)
5
1)
1
5l94l95l3
100l99l98
≈0714.
SposóbIIdlaprzypadkua):
NiechAkoznaczazdarzenie,żek-tyloswygrywa(k117273).Zdarzenie
Apolegającenatym,żedokładniejedenztrzechlosówwygrywa,można
zapisaćnastępująco:
A1(A1∩A2∩A3)∪(A1∩A2∩A3)∪(A1∩A2∩A3).
Ponieważzdarzeniasąparamirozłączne,więc
P(A)1P(A1∩A2∩A3)+P(A1∩A2∩A3)+P(A1∩A2∩A3).
Następniezewzoru(1.25)naprawdopodobieństwoiloczynuwynika,że
P(A)1P(A3|A1∩A2)P(A2|A1)P(A1)+P(A3|A1∩A2)P(A2|A1)P(A1)+
+P(A3|A1∩A2)P(A2|A1)P(A1)1
194
98l95
99l5
100+94
98l95
100l5
99+5
98l94
99l95
100≈0714.
Przypadekb):
OznaczamyprzezBzdarzeniepolegającenatym,żeżadenztrzechlosów
niewygrywa;zatemB1A1∩A2∩A3,stąd
P(B)1P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)1
100l94
95
99l93
98≈0785.
Szukaneprawdopodobieństwop≈1l078510715.
