Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
42
1.Zdarzeniaiprawdopodobieństwazdarzeń
PonieważP(A∩B)≥0,P(B)>0,zatem
P(A|B)1
P(A∩B)
P(B)
≥0.
AksjomatIjestwięcspełniony.
Ponieważ
P(Ω|B)1
P(Ω∩B)
P(B)
1
P(B)
P(B)
117
zatemaksjomatIIjestspełniony.
NiechA17A27...będązdarzeniamiparamirozłącznymi.Zdarzenia
(A1∩B)7(A2∩B)7...sąteżparamirozłączne.Zauważmy,że
P((U
Ai)∩B)
P(U
(Ai∩B))
P(U
i
Ai|B)1
i
1
i
1
P(B)
P(B)
Σ
P(Ai∩B)
Σ
P(Ai|B)lP(B)
1
i
P(B)
1
i
1Σ
i
P(Ai|B).
P(B)
ZatemaksjomatIIIjestspełniony.
Prawastronawzoru(1.23)określawięcprzyustalonymzdarzeniuBpewną
funkcjęargumentuA,którąmożnatraktowaćjakorozkładprawdopodobieństwa.
Należyzwrócićuwagęnafakt,żepojęciewarunkowyrozkładprawdopodo-
bieństwawistocierzeczyniejestnowympojęciemwporównaniuzomawianym
poprzedniopojęciemrozkładuprawdopodobieństwa–nazwijmygo(chwilowo)
bezwarunkowym.Zauważmybowiem,żejeśliB⊂Ω,Ai⊂Ω(i11727...)
izaprzestrzeńzdarzeńelementarnychprzyjmiemyB,toprawdopodobieństwa
warunkoweP(Ai|B)sąliczbowoniczyminnymjakprawdopodobieństwami
bezwarunkowymiwprzestrzeniprobabilistycznej(B7SB7PB),gdzieSBjestro-
dzinąpodzbiorówprzestrzeniBspełniającąwarunki10–30zes.18.Elementami
tejrodzinysązbiorypostaci(A1∩B)7(A2∩B)7...7aPBjestprawdopodo-
bieństwempostacikP(Ai∩B),przyczymstaływspółczynnikkjestoczywiście
równy1/P(B).
Istotnysenswprowadzaniaprawdopodobieństwawarunkowegopolegana
tym,żeprawdopodobieństwazwiązanezBjakoprzestrzeniązdarzeńelementar-
nychwyrażamyprzezprawdopodobieństwazwiązanezΩjakoprzestrzeniązda-
rzeńelementarnych.Zauważmy,żeistniejetuanalogiadopowszechnieznanego
zagadnieniazmianyukładuwspółrzędnychiwyrażaniawielkościwnowym
układziewspółrzędnychprzezwielkościwstarymukładziewspółrzędnych.
Wzór(1.23)możnazapisaćwinnejpostaci,mianowicie–mnożącobu-
stronnieprzezP(B)otrzymujemynastępujący,częstoużywanywzórnapraw-
dopodobieństwoiloczynuzdarzeń:
P(A∩B)1P(A|B)P(B).
(1.24)
