Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Zaryshistoryczno-epistemologicznypojęciafunkcji
13
rachunkowychnastałychizmiennych,choćdefinicjaciągłościfunkcjiopisanawtej
samejpozycjibyłajużogólnainiezależałaodsposobuobliczaniatychwielkości.
PrzełomowymidlapojmowaniapojęciafunkcjiokazałysiędwiepraceFouriera(jed-
naz1808r.,drugasłynnaThéorieanalytiquedelachaleuropublikowanaw1822r.).
Metodęszeregówtrygonometrycznych,którąDanielBernoullirozwinąłwnaturalnym
kontekścierozkładudrgaństrunynaskładoweharmoniczne,Fourierzastosowałwin-
nymzagadnieniu,niemającymżadnegowyraźnegozwiązkuzokresowymizmianami,
amianowicierozwiązywałrównanieprzewodnictwacieplnego.Rozwijałwtymcelu
dowolnefunkcjenaszeregitrygonometryczne.
Okazałosię,żemetodęFourieramożnarównieżstosowaćdopewnychfunkcjiniecią-
głych,określonychróżnymiwzoraminaróżnychprzedziałach(…).Zgodniezpoglądami
zXVIIIwieku,takokreślonef(x)niepowinnobyćuważanezafunkcję,bowiemwwy-
kresiesąnieciągłości(skoki)wmiejscach,gdziejedenwzórjestzastępowanydrugim.
Rewelacjąbyłoto,żef(x)jestpomimotosumąszeregu.(…)DlaFourieraistotnebyło
to,żedowolneprzyporządkowanief(x)możnaprzedstawićjednymwzorem(…),awięc
jednakmusiałobyćonouznanezafunkcję.Uważałon,żefunkcjąmożebyćdowolnaod-
powiedniość,któraodciętymprzypisujerzędne,iniemusitobyćjakieśjednowspólne
prawodlawszystkichx(Semadeni,2002b:127-128).
Historycyjednakpokazują,żeFourierniebyłkonsekwentnywstawianiuisto-
sowaniuswojejdefinicjindowolnejfunkcji”.Podkreślająoni,żemógłzakładaćich
ciągłość(Ferreirós,1999:148)lubżeinterpretacjaFourieramogłazależećodtego,
czyfunkcjareprezentowałapołożeniestruny,czyteżbrzegowyrozkładtemperatur;
ponadtowykresyfunkcjiFourierawłączałyrównieżpionoweodcinkiłącząceskoki.
WprawdzieFourierpodałwiarygodneargumentyzazbieżnościątakichszeregów,
alejednaknieudowodniłtegowsposóbścisły.Przyodpowiednichzałożeniachzro-
biłtoDirichletwroku1829.Jegopodejściebyłopojęciowe,inneniżwXVIIIwieku,
gdzieprzeważałopodejścieformalne.Dirichletnapisał,żewpojęciufunkcjinietrze-
bawymagaćjakiegośwspólnegowzoru,prawaokreślającegozależnośćyodx,takie-
gosamegodlawszystkichx.Nawetniepostulowałtego,byzależnośćfunkcyjnabyła
opisanadziałaniami.Dirichletpodałwówczasswójsłynnyprzykładfunkcji,która
dlaargumentówniewymiernychprzypisujewartość0,adlaargumentówwymier-
nychwartość1.Jestjednakbardzoprawdopodobne,żeDirichletpodałtenprzy-
kład,traktującgoraczejjakoosobliwość,któraukazujekonsekwencjemówienia
odowolnymprzyporządkowaniu,niżjakopełnoprawnąfunkcję,cosugerujeImre
Lakatos.FunkcjataniedajesięrozwinąćwszeregFourieraijestniecałkowalna.Sam
Dirichletjeszczew1837r.napisał,żewpunkcieskokufunkcjamadwiewartości:
dlaφ(β-0)iφ(β+0).Jednakniektórzywybitnimatematycy,m.in.KarlWeierstrass
iHermannHankel,krytykowaliwnastępnychdekadachdefinicjęDirichletajako
zbytogólną,tj.obejmującąprzypadki,któreniepowinnybyćnazywanefunkcjami,
aleinnejdefinicjiniesformułowali.
PoincaréjużwXXwieku,kwestionowałnietylesposóbokreśleniapojęcia
funkcji,coprzywiązywaniezbytdużejwagidotego,abyosobyuczącesiępoznały
osobliweprzykładyfunkcji(por.motto).
Jednakżewzrostrygorówścisłościdotyczącychmetodologiimatematyki
ikrytykadowodówdotąduznawanychzawystarczającewymusiłarozważanie
