Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.Funkcje
JeżelifunkcjafjestróżnowartościowanacałejdziedzinieX,tomówimy
krótko,żefjestróżnowartościowa(fjestiniekcją).
UWAGA3.Załóżmy,żef:X→Yjestfunkcjąliczbowąidanyjestwykresfunkcjif.
NiechA⊂X.Możnałatwowykazać,żefunkcjafjestróżnowartościowanazbiorzeA
wtedyitylkowtedy,gdykażdaprostarównoległadoosiOxprzecinaconajwyżejjeden
razczęśćwykresutejfunkcjileżącąnadzbioremA.
Definicja3.2.Funkcjęf:X→Y,którajestróżnowartościowa
ijestodwzorowaniemna(inaczej:jestiniekcjąisuriekcją)będziemy
nazywaćodwzorowaniemwzajemniejednoznacznym(bijekcją).
Zauważmy,żejeżelif:X→Yjestbijekcją,todlakażdegoy∈Y
istniejedokładniejedenelementx∈Xtaki,żey=f(x).Możemywięc
rozważaćfunkcję,któraelementowiy∈Yprzyporządkowujewłaśnieten
elementx.
Wzwiązkuzpowyższąobserwacjąprzyjmujemynastępującądefinicję.
Definicja3.3.Niechf:X→Ybędziebijekcją.Wtedyfunkcję
f11:Y→Xokreślonąnastępująco:
f11(y)=x⇐⇒y=f(x)
nazywamyfunkcjąodwrotnądofunkcjif.
Ilustracjęgraficznąfunkcjiodwrotnejprzedstawiononarys.3.4.
RYS.3.4
UWAGA4.Wprzypadkugdyf:X→Yniejestbijekcją,niemożemyzdefiniowaćfunkcji
odwrotnejf11:Y→X.Możnajednakutworzyćfunkcjęodwrotnąwinnymznaczeniu.
ZnajdujemymianowiciepewienzbiórA⊂X,takiżefjestróżnowartościowanaA.
Wtedyfunkcjaf:A→f(A)jestbijekcją,zatemmożemyutworzyćfunkcjęodwrotną
f11:f(A)→A.
Podamyterazkilkaważnychprzykładówpraktycznejrealizacjipowyż-
szejuwagi.
Przykład3.1
Rozważmyfunkcjęf:R→R,y=f(x)=sinx.Oczywiście,fniejest
bijekcją(nazbiorzeR).Jednakże,przyjmijmyA=[−
π
2jπ
2];widzimy,żef
jestróżnowartościowanazbiorzeA(por.rys.3.5).
34
