Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Elementylogikimatematycznej
Jesttooczywiściezdaniefałszywe,bowiemniematakiejliczbyrzeczywi-
stejy,którajestwiększaodwszystkichliczbrzeczywistychx.
Wyrażenialogicznezbudowanezfunkcjizdaniowychikwantyfikato-
rówpodlegająprawomlogicznympodobnymdoprawrachunkuzdań.Itak
np.prawatemówiąomożliwościwzajemnegoprzestawianiadużychkwan-
tyfikatoróworazomożliwościprzestawianiamałychkwantyfikatorów.Na
przykład
^
x
^
y
f(xjy)⇐⇒^
y
^
x
f(xjy)j
V
V
V
f(xjyjz)⇐⇒V
V
V
f(xjyjz).
x
y
z
y
x
z
DonajważniejszychtegotypuprawzaliczająsięprawadeMorgana.Mają
onepostać:
ŹV
x
f(x)⇐⇒^
x
Źf(x)j
Ź^
x
f(x)⇐⇒V
x
Źf(x).
Przykład1.8
Rozważmyzdanie
x∈R
^
y∈R
V
(x<1=⇒x+y<2).
Wtymprzypadkuniejestłatworozstrzygnąć,czyjesttozdanieprawdziwe
czyfałszywe.Zbadamywięczaprzeczenietegozdania.Korzystajączpraw
deMorganadlakwantyfikatorów,otrzymamy
Ź^
V
(x<1=⇒x+y<2)⇐⇒
x∈R
y∈R
⇐⇒V
x∈R
Ź(
\
y∈R
V
(x<1=⇒x+y<2)\
)
⇐⇒
⇐⇒V
^
Ź(x<1=⇒x+y<2).
x∈R
y∈R
Jeżeliterazskorzystamyznastępującejtautologii
Ź(p=⇒q)⇐⇒(p∧Źq)
16
