Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
3.Liczbyzespolone
Jesttorównaniedwukwadratowe;podstawiająct=x2,t>0,otrzymujemy
równanie
t2−3t−1=0,
któremadwapierwiastki:
t1=
3−√13
2
,
t2=
3+√13
2
.
Ponieważt1<0,więcniespełniawarunkówzadania,zatem
x1=√t2=J3+√13
2
,
x2=−√t2=−J3+√13
2
.
Dlawyznaczonychx1,x2obliczamyg1,g2,
g1=−J2
3+√13
,
g2=J2
3+√13
,
zatempierwiastki2-gostopniazliczbyz=3−2źsąpostaci
√3−2ź=
(
4
l
J3+√13
2
−źJ2
3+√13
,
−J3+√13
2
+źJ2
3+√13
]
}
J
.
Twierdzenie3.5.1.Każdaliczbazespolonaz=T(cos0+źsin0),T>0,0∈R
mawdziedziniezespolonejdokładnienpierwiastków.Każdyzpierwiastkówjest
postaci
wk=
√T(cos
n
0+2kπ
n
+źsin
0+2kπ
n
),
k=0,1,...,n−1.
(3.5.2)
Uwaga3.5.3.Zpowyższegotwierdzeniawynika,że
√z={wo,w1,...,wn11},
n
(3.5.3)
gdziewkzadanesąwzorem(3.5.2).Ponadto,zbiórpierwiastkówniezależyod
wyboruargumentuliczbypierwiastkowanej;jeśli0=Argz,topierwiastekwoma
najmniejszyargumentrówny0/n,natomiastjeśli0niejestargumentemgłów-
nym,towomożemiećjedenzargumentówliczbwo,w1,...,wn11.Pierwiastki
wo,w1,...,wn11spełniajązależności
wk+1=wk(cos
2π
n
+źsin
2π
n)=wo(cos
2π
n
+źsin
2π
n)
k+1
,
gdziek=0,1,...,n−2.
Przykład3.5.2.Wyznacz
√−2.
4
Przedstawimynajpierwliczbę−2wpostacitrygonometrycznej:
−2=2(cosπ+źsinπ).
(3.5.4)
