Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.3.Postaćtrygonometrycznaliczbyzespolonej
31
Twierdzenie3.3.3.Niechz=T(cos0+źsin0),gdzieT>0,0∈R.Niech
ponadton∈N.Wtedy
zn=Tn(cosn0+źsinn0).
PowyższywzórnazywamywzoremdeMoivre’a.
(3.3.6)
Przykład3.3.3.Wyznaczpostaćalgebraicznąliczb:(1−ź)2o,(1+ź√3
1+ź)
4
.
Zprzykładu3.3.1mamy:
1−ź=√2(cos
5π
4
+źsin
5π
4),
1+ź√3=2(cos
π
3
+źsin
π
3),
1+ź=√2(cos
π
4
+źsin
π
4).
NamocywzorudeMoivre’amamy:
(1−ź)2o=(√2)2o(cos20
5π
4
+źsin20
5π
4)
=21o(cos25π+źsin25π)
=21o(cosπ+źsinπ)
=21o(−1+ź·0)
=−21o.
(1+ź√3)4=24(cos
4π
3
+źsin
4π
3),
(1+ź)4=(√2)4(cos
4π
4
+źsin
4π
4)=4(cosπ+źsinπ).
Zatem
(1+ź√3
1+ź)
4
=
(1+ź√3)4
(1+ź)4
=
16(cos
4(cosπ+źsinπ)
4π
3
+źsin
4π
3)
=4(cos(
4π
3
−π)+źsin(
4π
3
−π))
=4(cos
π
3
+źsin
π
3)
=4(1
2
+ź
√3
2)
=2+2√3ź.
