Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.3.Postaćtrygonometrycznaliczbyzespolonej
29
Definicja3.3.2.Argumentemliczbyzespolonejz=x+źg,z/=0,x,g∈R
nazywamykażdąliczbę0∈Rspełniającąnastępującerówności:
(
I
I
I
4
I
I
I
l
cos0=
sin0=
Rez
Imz
|z|
|z|
=
=
|z|
|z|
x
g
,
.
(3.3.2)
Przyjmujemy,żeargumentemliczbyz=0jestkażdaliczba0∈R.Argumentem
głównymliczbyz/=0jesttenargument0liczbyz,któryspełniazależność0<
0<2π.Równocześnieprzyjmujemy,żeargumentemgłównymliczbyz=0jest
liczba0.Argumentliczbyzespolonejoznaczamyprzezargz,natomiastargument
głównyoznaczamyprzezArgz.Zatem
argz=Argz+2kπ,
k∈Z.
(3.3.3)
Uwaga3.3.2.Argumentliczbyzespolonejz(argz)jestmiarąkątaskierowane-
go,któregoramiępoczątkowetworzydodatniapółośosirzeczywistej,natomiast
ramieniemkońcowymjestwektorwodzącyz.Argumentgłównyliczbyzjestmia-
rąnajmniejszegotakiegokąta.Czasamiprzyjmujesię,żeargumentgłównyjest
liczbązprzedziału(−π,π>(rys.3.3.2).
Rys.3.3.2.Argumentliczbyzespolonejz
Przykład3.3.1.Wyznaczmodułiargumentgłównyliczb:z1=−ź,z2=1+
ź,z3=1−ź,z4=1+ź√3.
ZpołożeniatrzechpierwszychliczbnapłaszczyźnieGaussamożnabezobliczeń
wyznaczyćpewneichwartości.Zauważmy,żeArg(−ź)=3
2π(gdyżz1=−źleży
naujemnejpółosiurojonej)oraz|z1|=|−ź|=1,gdyżodległośćz1=−źod
początkuukładujestrównatylesamo,coodległośćz=źodpoczątkuukładu,
czyli1.
PodobnieodczytujemywartośćArg(1+ź)=π/4,gdyżRe(1+ź)=Im(1+ź)
=1,ponadto|1+ź|=√12+12=√2,orazArg(1−ź)=5/4π(lub−π/4),
|1−ź|=d12+(−1)2=√2.
Dlaz4mamy
|1+ź√3|=J12+(√3)2=2,
