Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
orazjeślio=Arg(1+ź√3),to
coso=
1
2
,
sino=
√3
2
.
Zatemo=Argz4=π/3.
Własnościargumentu.Niechz∈C,z/=0.Wtedy
1.arg(¯
2.arg(1/z)=2π−argz.
z)=2π−argz,
3.Liczbyzespolone
Definicja3.3.3.Postaciątrygonometrycznąliczbyzespolonejznazy-
wamynastępującąreprezentacjęliczbyz:
z=T(cos0+źsin0),
gdzieT=|z|,natomiast0=Argz.
Przykład3.3.2.Przedstawliczbęz=3−4źwpostacitrygonometrycznej.
Zauważmy,żejeślio=Arg(3−4ź),to
coso=
3
5
,
sino=−
4
5
.
Zliczbowychwartościsinusaicosinusakątawynika,żeoleżywczwartejćwiart-
ceukładuwspółrzędnych.Wartościszukanegokątaodczytujemyztablicbądź
wyznaczamyprzyużyciukalkulatora.Mamyo=3600−5309′=306051′.Osta-
tecznie:
z=5[cos(306051′)+źsin(306051′)].
|z|=J32+(−4)2=5,
Twierdzenie3.3.1.Liczbyzespolonez1=T1(cos01+źsin01)orazz2=
T2(cos02+źsin02),gdzieT1,T2>0,01,02∈R,sąrównewtedyitylkowtedy,gdy
istniejek∈Ztakie,że
T1=T2,
01=02+2kπ.
Twierdzenie3.3.2.Niechz1=T1(cos01+źsin01)orazz2=T2(cos02+
źsin02)będąliczbamizespolonymi.Wtedy
z1·z2=T1·T2[cos(01+02)+źsin(01+02)],
z1
z2
=
T1
T2
[cos(01−02)+źsin(01−02)],
z2/=0.
(3.3.4)
(3.3.5)
Własnościargumentuliczbyzespolonej.Niechz,z1,z2∈C,n∈N.Wtedy:
1.arg(z1·z2)=argz1+argz2+2kπ(k=0lubk=−1).
2.arg(zn)=nargz+2kπdlapewnegok∈Z.
3.arg(
z1
z2)=argz1−argz2+2kπ(k=0lubk=−1),z2/=0.
