Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Falejednowymiarowe
13
kościąD9musimyzastąpićzmiennąxwkażdymmiejscu9
zwyczajrównanieto9będąceliniowymijednorodnym
gdziepojawiasięonawwyrażeniuf(x)9przez(x-Dt).
równaniemróżniczkowymcząstkowymdrugiegorzę-
Wrezultacieotrzymamyȥ(x9t)=3/>10(x-Dt)2+1].Je-
du9definiujefalefizyczne(rzeczywiste)wośrodkubez-
żeliprzyjmiemy9żeDjestrównenp.1m/sorazżewy-
stratnym.Istniejewieleróżnychrodzajówfalikażda
kresfunkcjibędziemyrysowaćkolejnowchwilacht=09
znichjestopisanaprzezcharakterystycznądlaniej
t=1s9t=2sit=3s9tootrzymamywizualizacjępropa-
funkcjęfalowąȥ(x).Niektórefaleopisująciśnienielub
gacjiimpulsu.Narysunku2.4bprzedstawiono9jakim-
wychylenie9podczasgdyinnedotycząpólelektroma-
pulsprzemieszczasięwprawozprędkością1m/swko-
gnetycznych9jednakwszystkietefunkcjefalowesąroz-
lejnychchwilach.Jeżelinatomiastpodstawilibyśmy
wiązaniemtegosamegorównaniafalowego.Powód9dla
(x+Dt)zamiastxwwyrażeniuopisującymprofilfali9to
któregorównanieróżniczkowejestrównaniemcząstko-
impulsprzemieszczałbysięwlewo.
wym9jestprosty-falamusibyćopisanaprzezfunkcję
Jeżeliprzepiszemyrównanie(2.5)9zakładając9że
kilkuniezależnychzmiennych9adokładnietychopisu-
opisujemyzaburzenieȥpoupływieczasuǻtoodpo-
jącychpołożenieiczas.Równanieróżniczkowejestli-
wiadającejmuzmianieodległościDǻtwkierunkux9to
niowH9gdyzawieradwalubwięcejwyrazów9zktórych
otrzymamy
każdyjestwyrażonyzapomocąfunkcjiȥ(x)pomnożo-
nejprzezstałąwartośćlubzapomocąpochodnejtej
funkcji.Istotnyjestfakt9żekażdytakiwyrazmożepo-
Takwięcprofilfalipozostajeniezmieniony.
jawićsiętylkowpierwszejpotędzeorazniemożebyć
Podobniemożemyopisaćprzypadek9wktórymfala
żadnychwyrazówmieszanych(funkcjiȥ(x)zjejpo-
propagujesięwujemnymkierunkuosix9czyliwlewą
chodnąlubpochodnychwzględemróżnychzmiennych).
stronę.Równanie(2.5)możemyzapisaćwpostaci.
Należyteżpamiętać9żerządrównaniaróżniczkowego
(2.6)
jestrównyliczbieokreślającejpochodnąnajwyższego
rzęduwtymrównaniu.Ponadtorównanieróżniczkowe
Możemyzatemdojśćdowniosku9żeniezależnieod
N-tegorzędumaNniezależnychzmiennych.
kształtuzaburzeniazarównox9jakitmusząbyćpoje-
Wyprowadzimyterazjednowymiarowąpostaćrów-
dynczymizmiennymifunkcji9któremożnazapisać
wpostaci(xטDt).Równanie(2.5)jestczęstowyrażane
wrównoważnysposóbjakofunkcjazmiennej(t-x/D)9
coopisujemyzapomocąwzoru.
(2.7)
naniafalowego9zakładając(zgodniezzałożeniamiopi-
sanyminas.14)9żenajprostszezfalpropagującychsię
zokreślonąprędkościąwymagająopisuzapomocą
dwóchstałych(amplitudyiczęstotliwościlubamplitudy
idługościfali)9cosugerujeużyciedrugichpochodnych.
Zewzględunafakt9żesątodwiezmienneniezależne
(wtymprzypadkuxorazt)9możemyobliczyćpochodną
Impulszilustrowanynarys.2.2izaburzenieopisane
funkcjifalowejȥ(x9t)zarównowzględemzmiennejx9
równaniem(2.5)sąokreślanejakojHdnowymiIrowH9
jakit.Takieróżniczkowaniemożemywykonać9biorąc
ponieważfalaprzesuwasięwzdłużpunktówleżących
poduwagętylkojednązmiennąitraktująctędrugąjako
naliniiprostej-potrzebnajesttylkojednazmiennaopi-
stałą.Stosujemypodstawoweregułyróżniczkowania9
sującapołożenie.Niedajmysięzwieśćwrażeniu9że
jednakabywprowadzićwidocznerozróżnienie9po-
wtymprzypadkulinapodnosisięwjednymiopada
chodnącząstkowązapisujemywpostaciδ/δ[.
wdrugimkierunku(prostopadłymdoosipropagacji).
Wcelupowiązaniazesobązależnościczasuipoło-
Natomiastfaladwuwymiarowapropagujesięwzdłuż
żeniafunkcjiȥ(x9t)musimyobliczyćpochodnącząst-
płaszczyzny9takjakfalenajeziorze9ijestopisanaza
kowąfunkcjiȥ(x9t)=f([!)względemzmiennejx9pod-
pomocądwóchzmiennychopisującychpołożenie.
stawiająct=const.Biorącpoduwagę9że[!=xטDtoraz
2.1.1.Różniczkowerównaniefalowe
W1747rokuJeanLeRondd¶Alembertwprowadził
mamy
równaniaróżniczkowecząstkowedomatematycznego
opisuzjawiskfizycznych.Wtymsamymrokunapisał
artykułopisującyruchdrgającychstrun9wprzypadku
ponieważ
którychtzw.różniczkowHrównIniHfIlowH(ang.diffHr-
HntiIlwIvHHquItion)pojawiłosięporazpierwszy.Za-
(2.8)
