Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Definicja1.4
ZagadnieniemCauchy'egodlarównaniaróżniczkowegorzędunnazywasię
znalezienietakiegorozwiązaniaszczególnegotegorównania,którespełniawarunki
początkowe
y(x0)=y0,
y'(x0)=y1,
...,
y(n-1)(x0)=yn-1,
gdzieliczbyx0,y0,y1,...,yn-1,zwanewartościamipoczątkowymi,sądane.
Wszczególnymprzypadkuwarunkipoczątkowedlarównaniaróżniczkowegorzędu
pierwszegomająpostaćy(x0)=y0,adlarównaniaróżniczkowegorzędudrugiego
postaćy(x0)=y0,y'(x0)=y1.
Definicja1.5
Rozwiązaniemogólnym(całkąogólną)równaniaróżniczkowegorzędunnazywasię
zbiórwszystkichrozwiązańszczególnychtegorównania.Rozwiązanieogólne
możnaprzedstawićjakofunkcję
y=y(x,C1,C2,...,Cn),
zależnąodnstałychC1,C2,...,Cn,któremożnatakdobrać,abyotrzymaćkażde
rozwiązanieszczególnedladowolnieustalonychwartościpoczątkowych
x0,y0,y1,...,yn-1.
Rozwiązanieszczególne,spełniającedanewarunkipoczątkowe,możnauzyskać
podstawiającx=x0,C1=y0,C2=y1,...,Cn=yn-1.
Uwaga:
Rozwiązanieszczególnejestjednąfunkcjąy=y(x),którejwykresemjestkrzywa,
nazywananiekiedykrzywącałkową.Ponieważrozwiązanieogólnejestzbiorem
całekszczególnych,tonazywasięjeniekiedyrodzinąkrzywychcałkowych.
1.2.Równaniaróżniczkowerzędupierwszego
1.2.1.Równanieróżniczkoweozmiennychrozdzielonych
Definicja1.6
Równanieróżniczkowe
dy
dx
±
g
f
(
(
y
x
)
)
,
8
