Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18.1.FUNKCJE,GRANICEICIĄGŁOŚĆ
Rys.18.1.Cięciepłaszczyznyzespolonejwzdłuż
dodatniejpółosiosixdlafunkcjif(z)=z1/2
3
Rys.18.2.Cięciepłaszczyznyzespolonejwzdłuż
dodatniejpółosiosixdlafunkcjif(z)=lnz.
Funkcjatamapunktrozgałęzieniawpoczątkuukła-
duwspółrzędnych
Wpodrozdziale4.5przekonaliśmysię,żelnzjestfunkcjąwielowartościową(wtym
przypadkuzłożonąznieskończeniewielufunkcjijednowartościowych).Poniższyprzy-
kładprzypomninamwielowartościowycharakterfunkcjilnz.
PRZYKŁAD1
Wyznaczmygałęziefunkcjilogarytmicznejw=f(z)=lnz.
Rozwiązanie:Gdyprzedstawimyzwpostacibiegunowejz=rei9,będziemymoglizapisaćlnz
jako
lnz=lnr+i9.
Zdrugiejstronyei9=ei90+2πni,gdziekąt9
0,leżącywprzedziale[0,2π),nazywamyargumen-
temgłównymliczbyzioznaczamyArgz,an=0,±1,±2,...Mamyzatem
lnz=lnr+i(90+2πn)
n=0,±1,±2,...
iwidzimy,żefunkcjalnzmanieskończeniewielegałęzi.Gdyograniczymy9doprzedziału
[0,2π),będziemymoglinapisać
Lnz=lnr+i90=lnr+iArgz
0≤90<2π,
gdzieArgz=90jestargumentemgłównymliczbyz,aLnzjestgałęziągłównąfunkcjilnz.
Możemywięcteżnapisać,że
lnz=Lnz+2πni
n=0,±1,±2,...
Narysunku18.2pokazanocięciepłaszczyznyzespolonejwzdłużdodatniejpółosi
osixdlafunkcjif(z)=lnz.Takjakwprzypadkufunkcjif(z)=z1/2,kąt9jestrówny
zerowgórnejczęścicięciairośniewkierunkuprzeciwnymdoruchuwskazówekzegara,
zbliżającsię,alenieosiągając2πnadolnejkrawędzicięcia.Zakażdymrazem,gdy9
przekraczacięcie,przechodzimyodjednejgałęzilnzdoinnej;wodróżnieniujednak
