Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18.1.FUNKCJE,GRANICEICIĄGŁOŚĆ
5
Jeżelif(z)=u(x,y)+iv(x,y)orazz0=x0+iy0,togranicalimz→z
0f(z)istnieje
wtedyitylkowtedy,gdyu(x,y)iv(x,y)majągraniceprzy(x,y)→(x0,y0).Wówczas
z→z0
lim
f(z)=
(x,y)→(x0,y0)
lim
u(x,y)+i
lim
v(x,y).
(1.3)
(x,y)→(x0,y0)
Jakpoprzednio,obietegranicemusząbyćniezależneodsposobu,wjaki(x,y)zbliża
siędo(x0,y0).
PRZYKŁAD2
Czyistniejegranica
z→01
lim
1+e1/x
+iy3?
Rozwiązanie:Jestoczywiste,żeistniejegranicav(x,y)=y3przy(x,y)→(0,0).Acozgranicą
u(x,y)=1/(1+e1/x)?Cóż,
lim
e
1/x=∞,
a
x→0–
lim
e
1/x=0,
x→0+
więclimx→0u(x,y)zależyodkierunku,zjakiegox→0,azatembadanagranicanieistnieje.
Łatwomożnawykazać,żejeżelif(z)→aorazg(z)→bprzyz→z0,to
f(z)±g(z)→a±b,f(z)g(z)→abif(z)/g(z)→a/bprzyz→z0(taostat-
niazbieżnośćzachodzipodwarunkiem,żeb/=0).
Mającdefinicjęgranicynapłaszczyźniezespolonej,możemyzdefiniowaćciągłość
funkcji.Niechfunkcjaf(z)będziezdefiniowanawpewnymδ-otoczeniuz0.Mówimy,
żef(z)jestciągławz0,jeżelif(z)→f(z0)przyz→z0.Definicjatajestrównoważna
następującymwarunkom:
1)istniejegranicalimz→z
0f(z)=l,
2)f(z0)jestokreślonawz0,
3)f(z0)=l.
Mówimy,żefunkcjajestciągławobszarzeR,jeżelijestciągławkażdympunkcietego
obszaru.
Podobniejakdlagranic,gdyzapiszemyf(z)=u(x,y)+iv(x,y)iz0=x0+iy0,
zauważymy,żefunkcjaf(z)jestciągławz0wtedyitylkowtedy,gdyu(x,y)iv(x,y)są
ciągłew(x0,y0).Cowięcej,jeżelif(z)ig(z)sąciągłewz0,tociągłesąteżf(z)±g(z),
f(z)g(z)orazf(z)/g(z)(oileg(z0)/=0).
PRZYKŁAD3
Wykażmy,żefunkcjaeizjestwszędzieciągła.
Rozwiązanie:Funkcjęeizmożemyzapisaćjako
e
iz=ei(x+iy)=e–yeix=e–y(cosx+isinx).
Funkcjee–ycosxoraze–ysinxsąciągłewewszystkichpunktach(x,y),awięcieizjestwszę-
dzieciągła.
