Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
18.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ—TEORIA
odsytuacjidlaf(z)=z1/2,funkcjaf(z)=lnzmanieskończeniewielegałęzi,gdyż
przyrosnącym9przechodzimyodjednejgałęzilnzdoinnej,znwiększymojeden.Na
rysunku18.2wyciętopoczątekukładuwspółrzędnych,ponieważargumentlnzniemoże
byćrównyzeru.Początekukładuwspółrzędnychnazywanyjestpunktemrozgałęzienia.
Mającdodyspozycjipojęciegałęzifunkcji,możemyodtądrozważaćjedyniefunkcje
jednowartościowe.
Granicęfunkcjizmiennejzespolonejmożemyzdefiniowaćwpodobnysposób,jakto
robiliśmywrozdziale1dlafunkcjirzeczywistej.Napoczątekdefiniujemyδ-otoczenie
punktuz0jakozbiórtychwszystkichpunktówz,dlaktórych|z–z0|<δ,gdzieδ
jestpewnądodatniąstałą.Nakłutymδ-otoczeniemz0sąwszystkieliczbyzspełniające
nierówność0<|z–z0|<δ.Innymisłowyjesttoδ-otoczeniez0,zwyjętympunktem
z0.Mówimy,żefunkcjaf(z)zdefiniowanawpewnymotoczeniuz0madlazdążącego
doz0granicęrównąl,jeżelidladowolniemałegos>0znajdziemytakieδ>0,że
|f(z)–l|<s,oiletylko0<|z–z0|<δ.Zapisujemyto
z→z0
lim
f(z)=l.
(1.2)
Rys.18.3.Granicafunkcjif(z)napłaszczyźniezespolonej.(a)Punktzleżywδ-otoczeniupunktuz0,
(b)punktw=f(z)leżyws-otoczeniupunktul=f(z0)
Rysunek18.3ilustrujepojęciegranicynapłaszczyźniezespolonej.Jakwynikazry-
sunku,granicawrównaniu(1.2)musibyćniezależnaodkierunku,zktóregozzbliżasię
doz0.Rozważmygranicęfunkcjif(z)=z∗/zprzyz→0.Możemydążyćzzdozera
poosix,kładący=0ibiorącx→0,codajenam
z→0
lim
z∗
z
=lim
x→0
x
x
=1.
Możemyteżdążyćdozerapoosiy,kładącx=0ibiorący→0:
z→0
lim
z∗
z
=lim
y→0
–iy
iy
=–1.
Dladwóchróżnychsposobówzbieganiadostajemydwieróżnewartościgranicy,mówi-
mywięc,żegranicalimz∗/zprzyz→0nieistnieje(por.zadanie19).
