Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
GRAWITACJA
RAMKA2030(cd.)
Równania(d)i(h)określająodwzorowanieMerka-
tora.Równikλ=0odpowiadaliniiy=0.Bieguny
Dlaodwzorowańtegotypuprawdziwaodległość
λ=±π/2sąodwzorowanenay=±fl.
międzypunktamijestokreślonaprzezelementlinio-
CzynnikproporcjonalnościΩ(x7y)międzyme-
wy:
trykąsferyimetrykąpłaszczyzny,zdefiniowany
dS2=a2[(
Prostymprzykłademtakiegoodwzorowania
2π
L
cos[λ(y)])
2
dx2+(
dλ
dy)
2
dy2].
(e)
równaniem(f),jestrówny:
Ω(y)=
2πa
L
cosλ(y)=
4πa
L
1+e4πy/L
e2πy/L
.
(i)
jestodwzorowanieMerkatora,wymyśloneprzez
Większośćdobrzeznanychwłaściwościodwzoro-
G.Krameraw1569r.izilustrowaneponiżej.Kra-
waniaMerkatorawynikazpostacitegoczynnika.
merchciałznaleźćtakieodwzorowanie,wktórym
Rozważmynaprzykładdwapunktyotejsamejsze-
kątynamapiebyłybyrównewskazaniomkompasu
rokościgeograficznej,którychdługośćgeograficzna
nasferze.Przytakimzałożeniuodwzorowaniesfe-
różnisięo∆x.Rzeczywistaodległośćmiędzytymi
rynapłaszczyznępowinnozachowywaćkątymię-
punktami∆Sjestrówna:
dzyliniamiwychodzącymizdowolnegopunktu.
ŻeglarzpodróżującyzCaracasdoLizbonymógłby
∆S=Ω(y)∆x
(j)
poprostuwykreślićnamapieprostąlinięłączącą
tedwaporty,akątmiędzyniąiosiąpionowąbył-
izależyodszerokościgeograficznej.Gdyy→fl,
bywtedyrównykątowimiędzykursemstatkuipo-
czyliwmiaręzbliżaniasiędobiegunapółnocne-
łudnikiem.Zachowującprzezcałyczasstałykurs,
go,odległośćmiędzypunktamimalejedozera,tak
żeglarzdotarłbyzCaracasdoLizbony.Jaknależy
jakpowinna.ZuwaginaczynnikΩ(y)nadużych
wybraćfunkcjęy(λ)lubλ(y),żebymapaspełniała
szerokościachgeograficznychprawdziwaodległość
tenwarunek?
wkierunkurównoleżnikowymjestmniejszaniżod-
Jakwiemyz(2.13),kątysąokreśloneprzezsto-
ległośćmierzonaróżnicąwspółrzędnych.
sunkiodległości.Kątmiędzydwomakierunkamina
Tosamodotyczypowierzchni.Niewielkiprosto-
sferzejestrównykątowimiędzyodpowiednimikie-
kątnamapie,obokachokreślonychprzezróżnice
runkaminapłaszczyźnie,elementliniowynasferze
współrzędnych∆xi∆y,mapowierzchnię:
jestproporcjonalnydoelementuliniowegonapłasz-
czyźnie,dS2=dx2+dy2.Abyzrealizowaćpomysł
∆A=[Ω(y)∆x][Ω(y)∆y]=Ω2(y)∆x∆y.(k)
Kramera,funkcjęλ(y)musimytakwybrać,byele-
mentliniowy(e)możnabyłozapisaćwpostaci:
Dlatego,choćwodwzorowaniuMerkatoraGren-
landiawydajesięogromnawporównaniuzAme-
dS2=Ω2(x7y)(dx2+dy2)
(f)
rykąPołudniową,jejrzeczywistapowierzchniajest
znaczniemniejsza.
dlapewnejfunkcjiΩ(x7y).Jestoczywiste,żepo-
szukiwanafunkcjamusispełniaćwarunek:
dλ
dy
=
2π
L
cosλ.
(g)
Jeślitakwybierzemyy,bypunktowiosiy=0od-
powiadałoλ=0,otrzymamy:
y(λ)=
2π∫
L
0
λ
cosλ/
dλ/
=
2π
L
log[tan(
π
4
+
λ
2)]
(h)
OdwzorowanieMerkatora
