Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
GRAWITACJA
Rysunek2060Wyprowadzenieelementuliniowegonasferze.Wrozumowaniuko-
rzystamyztego,żedwuwymiarowasferastanowipowierzchnięwtrójwymiarowej
przestrzenieuklidesowej.Napowierzchnisązaznaczonedwainfinitezymalnieodle-
głeodsiebiepunkty(070)i(0+d070+d0).Zrysunkuwidać,żeodległośćmiędzy
0i0+d0mierzonawzdłużliniistałejszerokościgeograficznej0,jestrównaasin0,
natomiastodległośćmiędzy0i0+d0,mierzonawzdłużliniistałejdługościgeogra-
ficznejjestrównaad0.Ponieważliniemającestałąwartośćjednejzewspółrzędnych
(070)sąortogonalne,tosumakwadratówtychróżniczekdajekwadratodległościdS
międzyrozważanymipunktamidlainfinitezymalniemałychd0id0.Wtensposób
otrzymujemyelementliniowy(2.15).
dlastałego®.Obwódjestrównydługościtejkrzywej.Punktynakrzy-
wejpołożoneinfinitezymalniebliskosiebieróżniąsięwartościąwspół-
rzędnej0od0,aled0=0.Wobectegoz(2.15)wynika,żedS=a
sin0d0,azatemobwódwynosi:
C=~dS=∫
0
2π
asin®d0=2πasin®.
(2.17)
Promieńtoodległośćodśrodkadodowolnegopunktunaokręgu,mie-
rzonawzdłużkrzywej,dlaktórejzmieniasię0,natomiastd0=0.
WzdłużtejkrzywejdS=ad0,azatempromieńmadługość:
r=∫dS=∫
0
®
ad0=a®.
(2.18)
Korzystającz(2.18),możemywyeliminować®z(2.17).Dostajemy
zatemrelacjęmiędzyobwodemokręguijegopromieniemwnieeukli-
desowejgeometriipowierzchnisfery:
