Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
15
gdyżpunktxoniemusibyćpunktemskupieniazbioruG(patrzrównieżuwa-
ga1.4).
Niechf:G→Rbędziepewnąfunkcjąorazxo∈G.Mówimy,żefunkcjaf
jestciągławpunkciexo,jeśli:
i)(definicjaHeinego)dladowolnegociągu(xn)n∈NelementówdziedzinyG
zbieżnegodoxociągwartości(f(xn))n∈Njestzbieżnydof(xo);
ii)(definicjaCauchy’ego)dlakażdegoε>0istniejeδ>0taka,żedlakażdego
punktux∈Gzachodziimplikacja
|x−xo|<δ
⇒
|f(x)−f(xo)|<ε.
Wzapisiesymbolicznym
∀ε>o∃δ>o∀x∈G(|x−xo|<δ⇒|f(x)−f(xo)|<ε).
Uwaga1.4.JeślipunktxoniejestpunktemskupieniazbioruG,tojedynymciągiem
elementówdziedzinyGzbieżnymdoxojestciągodpewnegomiejscastałyirówny
xo.Wtedyciągwartościjestrównieżodpewnegomiejscastałyirównyf(xo),
cooznacza,żejestzbieżnydof(xo).Funkcjajestzatemwtympunkcieciągła
(rys.1.11).
f(x0)
y
0
a
G=(ajb)∪{x0}
b
x0
x
Rysunek10110Ciągłośćfunkcjifwpunk-
cieizolowanymxo
Zuwagi1.4ipowyższychrozważańotrzymujemynastępującąwłasność.
Własność1.3
Niechf:G→Rbędziepewnąfunkcją,xo∈G.
i)JeślixojestpunktemskupieniadziedzinyG,tofunkcjafjestciągławpunk-
ciexo,gdy
x→xo
lim
f(x)=f(xo).
ii)JeślixoniejestpunktemskupieniazbioruG,tofunkcjafjestciągła
wpunkciexo.
