Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
Uwaga1.5.Podobniedopojęciagranicylewostronnejiprawostronnejfunkcji
wpunkciewprowadzamydefinicjęciągłościlewostronnejiprawostronnejfunkcji
wpunkcie.Niechf:G→Rixo∈G.JeślixojestpunktemskupieniazbioruG,
tofunkcjajestlewostronnieciągła(odpowiednio:prawostronnieciągła)wpunkcie
xo,gdy
x→x
lim
1
o
f(x)=f(xo)(odpowiednio:lim
x→x
+
o
f(x)=f(xo)).
JeślipunktxoniejestpunktemskupieniazbioruG,tofunkcjajestlewostron-
nieiprawostronnieciągławpunkciexo.
Ćwiczenie1.7.Pokazać,żefunkcjaf(x)=x2jestciągławpunkciexo=3.
Rozwiązanie.Dziedzinąfunkcjifjestzbiórliczbrzeczywistych,więcpunkt
xo=3jestpunktemskupieniategozbioru.Namocywłasności1.1iv)mamy
x→3
lim
f(x)=lim
x→3
x
2=lim
x→3
x·lim
x→3
x.
Ponieważlimx→3x=3,cowynikanatychmiastzdefinicjigranicy,więc
x→3
lim
f(x)=3·3=9=f(3).
Funkcjafjestzatemciągławpunkciexo=3.Analogiczniemożnapokazać,że
funkcjafjestciągławdowolnympunkciedziedziny.
I
Ćwiczenie1.8.Zbadaćciągłośćfunkcjifwpunkciexo=0,gdzie
f(x)={|x|
1
x
dlax/=0
dlax=0
.
Rozwiązanie.Zauważmy,żefunkcjęfmożemyzapisaćnastępująco
f(x)={
−1dlax<0
1dlax>0
.
Granicejednostronnefunkcjifwpunkciexo=0sązatemrówne
lim
f(x)=lim
(−1)=−1oraz
x→o+
lim
f(x)=lim
x→o+
1=1.
x→o1
x→o1
Ponieważgranicetesąróżne,więcnieistniejegranicafunkcjifwpunkciexo=0.
Funkcjafniejestwięcciągławtympunkcie.
I
Zwłasności1.1wynikanastępującawłasnośćfunkcjiciągłychwpunkcie.
Własność1.4
Jeślifunkcjef:G→Rig:G→Rsąciągłewpunkciexo∈G,tosumaf+g,
różnicaf−g,iloczynf·gorazilorazf
g(przyzałożeniu,żeg(x)/=0dlax∈G)
sąfunkcjamiciągłymiwpunkciexo.
