Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
1.Funkcjeróżniczkowalne
(*)funkcjafjestróżniczkowalnawpunkciex∈Ωwtedyitylkowtedy,gdy
wpunkciev11(x)istniejąpochodnecząstkowe
∂xj
∂fi
j
i=1j...jn;j=1j...jm.
Ponadtowbazachv1j...jvmjw1j...jwnodwzorowanieliniowe
Df(x)
mamacierz
[∂fi
∂xj
(v
11(x))].
Podobnie,różniczkiwyższychrzędówmogąbyćzapisaneprzyużyciupochodnych
cząstkowychwyższychrzędówiodpowiedniwzórjestłatwoudowodnićindukcyj-
nie,korzystającz(∗).
Trzebapodkreślić,żeomawianewyżejpodejściejestwygodne,ponieważpo-
zwalamówićoróżniczkachfunkcjiwieluzmiennychbezużyciawspółrzędnych,
tj.bezutożsamianiaprzestrzeniwektorowejn-wymiarowejzprzestrzeniąRn.Jak
wiadomo,takieutożsamieniezależyodwyborubazyiniejestwzwiązkuztym
naturalne.
ZbiórfunkcjiklasyCkokreślonychnazbiorzeotwartymΩowartościachwprze-
strzeniwektorowejWbędziemyoznaczaćprzez
Ck(ΩjW).
JesttoprzestrzeńliniowanadR-tymrazemnieskończeniewymiarowa.Wdalszej
częściwprowadzimywtejprzestrzenitopologię.Naraziezauważmy,żeprzestrzenie
Ck(ΩjW)tworząmalejącyciąg
C
o(ΩjW)⊃C1(ΩjW)⊃...Ck(ΩjW)⊃...
Przekrójtychprzestrzenioznaczaćbędziemyprzez
C
∞(ΩjW)j
jesttoprzestrzeńfunkcjigładkichnazbiorzeΩ.Zdefinicjiwynikanatychmiast,
żefunkcjagładkaposiadawszystkiepochodneciągłe.
