Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
11
Definicja1.1.Funkcjafjestróżniczkowalnawpunkciex∈Ωwtedyitylko
wtedy,gdyistniejeodwzorowanieliniowe
A:W→Vj
takieże
f(x+h)=f(x)+Ah+0(h)j
gdzie
"0(h)"=0("h").
FunkcjafjestróżniczkowalnanaΩ,jeżelijestróżniczkowalnawkażdympunkcie
zbioruΩ.
Jeżelifjestróżniczkowalnawpunkciex∈Ω,tooperatorA,spełniającywarun-
kidefinicji,jestwyznaczonyjednoznacznie,nazywasięróżniczkąfunkcjifwpunk-
ciexibędziemygooznaczać
Df(x).
JeślifjestróżniczkowalnanazbiorzeΩ,tookreślonajestfunkcja
Df:Ω→L(WjV)j
którąnazywamypochodnąfunkcjifnazbiorzeΩ.
Definicja1.2.FunkcjafróżniczkowalnanazbiorzeΩnazywasięfunkcjąklasy
C1jjeżelifunkcjaDfjestciągła.
Ogólniej–funkcjafróżniczkowalnanazbiorzeΩnazywasięfunkcjąklasyCkj
jeżeliDfjestfunkcjąklasyCk11.
Jeżelik-tapochodnafunkcjifistnieje,tojestfunkcjąowartościachwprzestrzeni
Lk(VjW)j
D(k)f:Ω→Lk(VjW).
WybierającbazywprzestrzeniachWorazVjacozatymidzie–izomorfizmy
tychprzestrzeni,odpowiednio,zRmiRnjmożnawyrazićróżniczkęzapomocą
pochodnychcząstkowych.Funkcja
f=w11fv:Rm→Rn
¯
jestpostaci
f(x1j...jxm)=(f1(x1j...jxm)j...jfn(x1j...jxm))
¯
ijakłatwosprawdzić
