Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.12.PrzykładyprawniezmienniczychwzględemtransformacjiGalileusza
53
Jeżeliruchźródłajestprzyspieszony,tożadenIUOniejestwtymzagadnie-
niuwyróżniony.WtedywdowolniewybranymIUO
S
energiapotencjalna
U
=
U
(R)jawniezależyod
t
.Rzeczywiście,wdowolnymukładzie
S!
wek-
torłączącyjestR
!
(
t
)=r
!
(
t
)
−
x
!
o
(
t
)=R(
t
)igdybyźródłosiłyporuszało
sięjednostajnieprostoliniowo,towjegoinercjalnymukładziespoczynkowym
mielibyśmyx
!
o
(
t
)=0iwektorR
!
niezależałbyjawnieodczasu,
∂
R
!/∂t
=0,
atymsamymwSmielibyśmy
∂
R
/∂t
=0.Równieżdlatakiejsiłypostulujemy,
żeenergiapotencjalnajestskalaremprzyzmianieIUO,
U
!(R!)=U(R)=U(R!)=U(r!−x!
o(t))j
ituenergiateżjestform-inwariantna.
Komentarzoproblemiezachowaniaenergii.Wmodelu(a)wukładzie
S
energia
kinetycznajest
T=
Σ
i=1
n
mi
2
v
2
ij
(1.12)
aenergiapotencjalnaUdanajestwzorem(1.11).WukładzieS!mamy
T
!=
Σ
i=1
n
mi
2
(vi−V)2=T−VlΣ
i
mivi+Σ
i
mi
2
V
2.
Wprowadzamycałkowitąmasę
M≡Σ
imi
icałkowitypędukładuw
S
,
P
≡Σ
imi
v
i
,zatem
T!
=
T−
V
l
P+
1
2M
V
2
.Energiapotencjalna
U!
=
U
zależyodczasuniejawnie.Całkowitaenergiaw
S
jest
E
=
T
+
U
=
const
,
aw
S!
jest
E!
=
T!
+
U!
=
E−
V
l
P+
1
2M
V
2
.PonieważcałkowitypędPw
S
jestzachowany,zatemwnioskujemy,żewmodeluizolowanegoukładuwielu
cząstekoddziałującychsiłamiopotencjałach
Uij
(r
i−
r
j
)całkowitaenergiajest
zachowanawkażdymIUO.
Wmodelu(b)całkowitaenergianiejestzachowanawżadnymIUO,bowiem
energiapotencjalnajawniezależyodczasupoprzezzadanątrajektorięruchu
źródłasiły,wyjątkiemjestprzypadek,gdyźródłojestnieruchomewpewnym
układzieinercjalnym.
1.12.Przykładyprawniezmienniczychwzględem
transformacjiGalileusza
Jakwiemy,równaniadynamikiNewtonasąniezmiennicze(form-inwa-
riantne),jeżelisiłazewnętrznaFniezmieniawartości.Rozpatrzmybliżej
ruchcząstkiswobodnej,
m
d
2
r
/
d
t2
=0.Rozwiązaniatworzązbiórruchów
jednostajnychprostoliniowychr(
t
)=v
t
+b,gdziewektoryvibsąstałe.
Potransformacjizbiórtenprzechodziwzbiórruchówrównieżjednostajnych
prostoliniowych,r
!
(
t!
)=v
!t!
+b
!
zv
!
=v
−
Vib
!
=b
−
r
o
.Obazbiory
