Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
1.Jednorównaniowyliniowymodelekonometryczny.Metodanajmniejszychkwadratów
1.4.Metodanajmniejszychkwadratów
Metodanajmniejszychkwadratów(MNK)jestnajprostsząiwpraktycenajczęściejsto-
sowanąmetodąestymacjinieznanychparametrówβmodelu(1.18)15.Jejpodstawową
zaletą,opróczprostotyzastosowania,sąkorzystnewłasnościuzyskanychzajejpomocą
estymatorów,októrychmówitwierdzenie1.1.
TWIERDZENIE1.1.(Gaussa–Markowa)Estymatorˆ
βwyznaczonyMNKjestes-
tymatoremzgodnym,nieobciążonyminajefektywniejszymwklasieliniowychestymato-
rówwektoraparametrówβmodelu(1.18).
Przypomnijmy16,że:
•estymatoremszacowanegoparametruβnazywanajeststatystyka(zmiennaloso-
wa)orozkładziezależnymodtegoparametru,
•estymatorzgodnytotaki,żedlan→∞ciągocenuzyskiwanychzapomocątego
estymatorajeststochastyczniezbieżnydoszacowanegoparametruβ:
n→∞
lim
P(|ˆ
βn−β|<δ)=1
dlakażdegoδ>0,
przyczymzapisˆ
βnoznaczaestymatorwyznaczanynapodstawiepróbyliczącejnobser-
wacji,
•estymatornieobciążonytotaki,dlaktóregoE(ˆ
β)=β,
•estymatornajefektywniejszywokreślonejklasieestymatorówmawtejklasienaj-
mniejsząwariancję,
•estymatorliniowytotaki,wktórymkażdaskładowawektoraβjestliniowąfunkcją
składowychwektorazmiennejlosowej(wtymprzypadkuzmiennejobjaśnianejy).
EstymatorMNKwektoranieznanychparametrówβmodelu(1.18)wykazujeopisane
własności,jeślispełnionesączteryzałożenia17:
(Z1)rz(X)=k+1≤n.
(Z2)ZmienneobjaśniająceXjsąnielosowe,azatemniezależneodskładnikaloso-
wego18ε.
(Z3)E(ε)=0.
(Z4)D2(ε)=E(εεT)=σ2I,przyczymσ2<∞.
15Niekiedynazywanajestrównieżklasycznąmetodąnajmniejszychkwadratów,wodróżnieniuodinnych
jejwariantów(np.MNKzwarunkamipobocznymiczyważonejMNK).
16Własnościestymatorówomawianesąszczegółowowpodręcznikachstatystyki(por.np.Greń,1987;
Gajek,Kałuszka,2000).
17Estymatorspełniającyzałożenia(Z1)–(Z4)określanyjestwliteraturzeterminemBLUE(BestLinear
UnbiasedEstimator).DowódtwierdzeniaGaussa–Markowamożnaznaleźćm.in.wpodręcznikuMaddali
(2006,s.228–229).
18Założenietojestzcałąpewnościąspełnionejedyniewprzypadku,gdyjedynązmiennąobjaśniającą
modelujestzmiennaczasowa.Wpraktycemodelowaniaekonometrycznegoprzyjmujesięjednak,żewar-
tościzmiennychobjaśniającychwdostępnejpróbiesąustalone,nawetjeżelisamezmienneobjaśniającesą
zmiennymilosowymi.Negatywnekonsekwencjeprzyjęciazałożeniaonielosowychzmiennychobjaśniają-
cychomawiaWooldridge(2002,s.10–11).Jeślitakiezałożenieniejestuzasadnione,koniecznejestspre-
cyzowanierozkładu(stochastycznych)zmiennychobjaśniających,odktóregozależydalszepostępowanie
(por.Gujarati,1995,s.315).
