Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8.2.Dualistycznycharaktercząstekmateriiipodstawymechanikikwantowej
21
sząbyćfunkcjamiwłasnymitegooperatora.Jeślinatomiastukładznajdujesięwstanie
opisanymfunkcjąfalowąniebędącąfunkcjąwłasnąoperatoraˆ
P(oznaczmytęfunk-
cjęϕj),toniemożnaprzyporządkowaćtemustanowijednoznacznejwartościp.Seria
pomiarówwielkościPwykonananawielkiejliczbieukładówznajdującychsięwtym
staniedaróżnewartościpspośródp1,p2,...imożnatylkomówićopewnymśrednim
(inaczej—spodziewanym)wyniku,któryoznaczymysymbolemp.
Czwartypostulatmechanikikwantowejpozwalaobliczyćtęwartośćspodziewaną
napodstawieznajomościfunkcjiϕj,stwierdzając,że
p=
∫ϕ∗
∫ϕ∗
j
jϕjdr
Pϕjdr
ˆ
(8.42)
Całkowaniejesttuznówrozciągniętenacałyzakreszmiennościwspółrzędnych,od
którychzależyfunkcjaϕj.
Jeślifunkcjaϕjjestznormalizowana,tomianowniktegowyrażeniawynosi1iwów-
czas
p=∫ϕ∗
j
Pϕjdr
ˆ
(8.43)
Naprzykładspodziewanawartośćcałkowitejenergiiukładuwstanieϕjwynosi
E=∫ϕ∗
j
Hϕjdr
ˆ
(8.44)
Podobniemożnazastosowaćwzór(8.43)doobliczeniaśrednichwartościinnychwiel-
kościcharakteryzującychstanukładuopisanyfunkcjąϕj.
Unormowanąfunkcjęϕjprzedstawimywpostacikombinacjiliniowejfunkcjiwłas-
nychoperatoraˆ
P:ϕj=Σicijψi.Kwadratymodułówwspółczynnikówcijinterpretuje
sięjakoprawdopodobieństwaotrzymaniawkonkretnympomiarzeodpowiednichwarto-
ściwłasnychpi.Wykorzystującortogonalnośćfunkcjiψi,wartośćśrednią(8.43)można
bowiemrozpisaćwpostaci
p=∫(Σ
i,
ci,jψi,)
∗
P(Σ
ˆ
i
cijψi)dr=Σ
i,
Σ
i
c∗
i,jcij∫ψ∗
i,
Pψidr=
ˆ
=Σ
i,
Σ
i
c∗
i,jcijpi∫ψ∗
i,ψidr=Σ
i
c2
ijpi
(8.45)
którajestrównoważnadefinicjiwartościśredniejznanejzrachunkuprawdopodobień-
stwa.
Gdybyfunkcjaϕjnależała(wbrewpoprzedniemuzałożeniu)dofunkcjiwłasnych
operatoraˆ
P,wówczasobowiązywałabyzależność(8.36):ˆ
Pϕj=pjϕj.Wykorzystując
